Solución:
Un punto de la geometría diferencial sintética es que, de hecho, es “sintética” en el espíritu de la geometría sintética tradicional, pero refinada ahora de la geometría de incidencia a la geometría diferencial. Por lo tanto, el nombre es bastante apropiado y, en particular, destaca que SDG es más que cualquiera de sus modelos, como los basados en duales formales de anillos C-infinitos (“loci suaves”). De hecho, la geometría algebraica tradicional con esquemas formales es otro modelo para los ODS y aquí es donde se encuentra el origen de la teoría: William Lawvere estaba observando el trabajo de Alexander Grothendieck y, después de abstraer el concepto de topos elementales de lo que Grothendieck hizo con las gavillas, luego abstrajo el Los axiomas de ODS de Kock-Lawvere a partir de lo que hizo Grothendieck con extensiones infinitesimales, esquemas formales y espacios cristales / de Rham. La idea de los ODS es abstraer la esencia de todas estas sutilezas, formularlas en términos de la teoría topos elemental y, por lo tanto, sentar las bases matemáticas para la geoemia diferencial que son mucho más abarcadoras que la geometría algebraica o la geometría diferencial tradicional por sí sola. Por ejemplo, también hay modelos en supergeometría, en geometría analítica compleja y en versiones mucho más exóticas del “cálculo diferencial” (como el cálculo de Goodwillie, ver más abajo).
En cuanto a las aplicaciones, un hecho curioso que sigue siendo poco conocido es que Lawvere, si bien es ampliamente reconocido por su trabajo en los fundamentos de las matemáticas, desde el principio y a lo largo de las décadas ha estado directamente motivado, en realidad, por sentar las bases de la física del continuo. Consulte aquí la lista comentada de sugerencias y citas sobre esos aspectos. En particular, el objetivo desde el principio de los ODS fue formalizar la mecánica, por eso uno de los primeros textos sobre el tema se titula “Topos de las leyes del movimiento” (refiriéndose a los topos de los ODS).
Un poco más tarde, Lawvere intentó otro enfoque de tales fundamentos, no a través de los axiomas KL esta vez, sino a través de la “cohesión axiomática”. Uno puede recuperar los ODS en la cohesión axiomática de una manera que lo realiza en estrecha paralela a la geometría D moderna con pilas de Rham axiomáticas, haces de chorros, módulos D y todo. Me gusta llamar a esto cohesión diferencial pero, por supuesto, no importa cómo se llame.
Visto desde esta perspectiva, el alcance de los modelos para la axiomática de los ODS se vuelve aún más poderoso. Por ejemplo, el cálculo tangente de Goodwille ahora también forma parte del cuadro, en términos de cohesión tangente sintética. Otro modelo es en geometría espectral derivada que conoce estructuras de relevancia en geometría aritmética, teoría de homotopía cromática y teoría de campos de clases, esto se discute en cohesión diferencial y estructura idélica.
Todo este razonamiento sintético tal vez se vea mejor desde la perspectiva general de que es útil en matemáticas estratificar toda la teoría tanto como sea posible por la jerarquía de supuestos y axiomas necesarios, tratar de probar tanto como sea posible a partir de tan pocos supuestos como sea necesario y pasar a modelos totalmente concretos solo al final. Si solo está interesado en un modelo específico, como la geometría derivada sobre $ C ^ infty $ -rings, entonces dicho razonamiento sintético puede ofrecer alguna guía, pero por lo demás podría parecer superfluo. El poder del método sintético está en cómo permite pasar entre modelos, ver sus similitudes y diferencias y probar teoremas independientes del modelo. Como en “No quiero que pienses que todo esto es teoría por el bien de ella, o más bien por el bien de sí mismo. Es teoría por el bien de otra teoría”. (Lurie, ICM 2010) La geometría sintética es “inter-geométrica”, para tomar prestada una formación de términos de Mochizuki. Si se encuentra con algo como la analogía del campo de función, entonces puede ser el momento de dar un paso atrás y preguntar si tal analogía entre diferentes sabores de geometría tal vez provenga del hecho de que todos son modelos para el mismo conjunto de axiomas “sintéticos”.
En teoría, casi cualquier cosa puede expresarse con los ODS, y se ha trabajado un poco para expresar algunos de los RR.GG. en este contexto, pero no estoy seguro de si se ha hecho mucho más allá de la prueba de concepto. Puede buscar en Google “geometría diferencial sintética y relaltividad general” y ver qué hay ahí fuera.
Los ODS como área de investigación es una cuestión diferente. Definitivamente es un grupo de nicho. Y mientras que hago contacto con ciertas áreas de este grupo y, como soy categóricamente, no necesito estar convencido de que sea una buena idea, este no es el caso de muchos de los que están fuera del grupo. No quiero disuadirlos de aprender los ODS, pero no lo aprendan como reemplazo de la teoría clásica, entre otras razones, porque se ha desarrollado mucho más en el escenario clásico. Conocer solo el lenguaje de los ODS podría estar en peligro de hacer que no sea comercializable, mientras que conocer el entorno clásico realmente bien, Y conocer los ODS solo podría considerarse una ventaja. Entonces, por ejemplo, podría traducir cualquier cosa clásica al entorno sintético usted mismo, probar lo que quiere y traducir de nuevo.
En lo que respecta a las suavidades comparativas, todos estos conceptos se pueden incrustar en los topos de las poleas sobre la categoría de las variedades suaves. Aquí todavía te faltan infinitesimales, tendrías que ir a los topos de Cahiers para hacer SDG. Más bien, estos enfoques le permiten tratar con objetos de dimensión infinita a través de su funtor de puntos, así como con cocientes pobres de variedades. Sin embargo, esto último se maneja mucho mejor si se usa el lenguaje de las pilas, y definitivamente está perdiendo información al no seguir la ruta de las pilas. Sería mucho mejor concentrar su energía en aprender acerca de las gavillas, los topoi y eventualmente la teoría de las gavillas más altas y de los topos más altos, ya que esto es mucho más general que estos enfoques, por ejemplo, los espacios difeológicos se pueden reformular en este idioma de todos modos. Hay conceptos de categorías superiores que desempeñan un papel en la física, por ejemplo, gerbios y gerbios superiores (con conexiones). Sugeriría echar un vistazo al trabajo de Schreiber:
http://ncatlab.org/nlab/show/Urs+Schreiber
Por último, (y desafortunadamente) el lugar geográfico de su ubicación puede tener una gran influencia en cuanto a “cuál es un área de investigación prometedora”. Aún así aprendería tanto como fuera posible, en todos los enfoques disponibles, y aprendería cómo ir y venir entre ellos. Cuantas más formas tengas de atacar algo, mejor.
También puede resultarle útil el trabajo de Joyce, que se basa en el trabajo de Dubuc. (EJ Dubuc. Esquemas C∞. Amer. J. Math., 103 (4): 683–690, 1981) y Moerdijk y Reyes (I. Moerdijk y GE Reyes. Modelos para un análisis infinitesimal suave. Springer-Verlag, Nueva York, 1991). La idea es hacer “Geometría algebraica de Hartshorne” sobre $ C ^ { infty} $ – anillos y $ C ^ { infty} $ – esquemas, lo que eventualmente conduce a la noción de D-manifolds y d-orbifolds (geometría diferencial derivada).
Joyce, geometría algebraica sobre anillos C-infinito (o para la encuesta: haz clic en mí)
Para el libro de ~ 800 páginas en D-manifolds y d-orbifolds eche un vistazo a d-manifolds y d-orbifolds, pero recomendaría encarecidamente echar un vistazo a cualquiera de estas encuestas primero:
Introducción a los colectores d y la geometría diferencial derivada (breve)
D-manifolds, d-orbifolds y geometría diferencial derivada: un resumen detallado (más detallado)
La belleza de d-manifolds y d-orbifolds es que existen functores de truncamiento de algebraicos ($ mathbb {C} $ – esquemas y $ mathbb {C} $ – pilas con teorías de obstrucción) así como geometría simpléctica (espacios de Kuranishi ) y, por lo tanto, las variedades d (d-orbifolds) son especialmente adecuadas para estudiar problemas de módulos en geometría algebraica y simpléctica. (Por ejemplo, la teoría de Gromov-Witten, la cohomología de Lagrangian Floer, etc.)
Entonces, dependiendo de si cuenta los d-manifolds y d-orbifolds como avances de los ODS o no, puede responder a su segunda pregunta (si los ODS son un área de investigación prometedora) con un sí.
Para tu primera pregunta: sé que esta no es la reformulación de la geometría simpléctica que tenías en mente, pero los d-orbifolds en realidad tuvieron sus inicios en la idea de mejorar la noción de espacios de Kuranishi. Como los d-manifolds y d-orbifolds admiten ciclos virtuales, se puede además estudiar y formular la teoría de Gromov-Witten, por ejemplo, dentro de este marco. También es posible definir una noción de ampliaciones en el contexto de d-manifolds (d-orbifolds) y, por lo tanto, si considera d-manifolds (d-orbifolds) relacionados con los ODS, sí, algunos conceptos se han reformulado dentro de los ODS.