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Solución:
La geometría analítica compleja es lo que obtenemos cuando transferimos todas las definiciones de la geometría algebraica a la categoría holomorfa. Es decir, en lugar de que una variedad algebraica se defina localmente por el conjunto cero de polinomios, una variedad analítica se define localmente por el conjunto cero de funciones holomorfas.
Como hay más funciones holomorfas que polinomios, y las funciones holomorfas o meromórficas pueden comportarse de manera mucho más errática que los polinomios o las funciones racionales, realizar las construcciones estándar de la geometría algebraica ahora es mucho más difícil que en la categoría algebraica. Por ejemplo, la afirmación de que la imagen directa de un haz coherente bajo un mapa adecuado es coherente es un teorema importante que involucra un análisis funcional pesado en geometría analítica.
En general, la vida en la geometría analítica es simplemente más difícil. La excepción es cuando tratamos con variedades suaves y compactas, donde podemos usar las herramientas de la geometría diferencial para domar las dificultades analíticas y obtener resultados que a menudo van más allá de lo que es fácilmente demostrable por métodos puramente algebraicos. El costo de estos resultados es que, por lo general, no es nada obvio qué hacer cuando nuestros espacios ya no son uniformes.
Las relaciones entre geometría algebraica compleja y geometría analítica compleja han sido estudiadas intensamente por Serre en el GAGA.
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry_and_analytic_geometry