Indagamos por diferentes espacios para así tenerte la solución a tu problema, si tienes alguna inquietud déjanos la pregunta y responderemos con gusto, porque estamos para ayudarte.
Solución:
Es geometría diferencial estándar encontrar la ecuación diferencial para las geodésicas en esta superficie. (Pero fácilmente podría haber cometido un error en el cálculo de todos modos). Dado que es una superficie completamente curvada negativamente, hay exactamente una geodésica que conecta dos puntos cualesquiera. Tienes una curva
$ vec p (t) = (x (t), y (t), z (t)) $ en la superficie $ z = xy $. La ecuación geodésica es
$$ vec p ” (t) propto vec nabla z oplus -1 $$
(la aceleración es perpendicular a la superficie), que se expande a
$$ (x ”, y ”, x”y + 2x’y ‘+ xy’ ‘) propto (y, x, -1). $$
Por lo tanto
$$ frac x ” y = frac y ” x = – (x”y + 2x’y ‘+ xy’ ‘). $$
Esa es una ecuación que Mathematica puede resolver. La única parte complicada es resolverlo con condiciones de contorno en ambos extremos, donde también puede suponer que los extremos están en $ t = 0 $ y $ t = 1 $. Para ese propósito, podría ser mejor minimizar la energía de la curva, por definición.
$$ E[vecp] = int_0 ^ 1 | vec p ‘(t) | ^ 2 dt = int_0 ^ 1 (x’ ^ 2 + y ‘^ 2 + (x’y + xy’) ^ 2) dt. $$
No conozco la forma más conveniente de hacer esto numéricamente, pero de alguna manera debería ser posible. Nuevamente, dado que la superficie está curvada negativamente, esta energía funcional se comporta bien.
No sé si existe una solución de forma cerrada en funciones elementales. Hay una solución de forma cerrada para un paraboloide redondo, pero es desordenada.
Estaba trabajando para responder a otra pregunta relacionada con la integración de las ecuaciones geodésicas en una superficie, y los vínculos allí me llevan de regreso a esta pregunta, que no había notado antes. En caso de que alguien esté interesado, hay una forma más directa de llegar a las geodésicas de la métrica inducida en el paraboloide hiperbólico, así que pensé que seguiría adelante e ingresaría este enfoque.
Como señaló Greg, las ecuaciones geodésicas en las coordenadas gráficas son
$$ x ” = – frac 2yx’y ‘ (1 + x ^ 2 + y ^ 2) qquad text y qquad y’ ‘= – frac 2xx’y’ (1 + x ^ 2 + y ^ 2). $$
Estas ecuaciones tienen dos primeras integrales que son cuadráticas en velocidad:
$$ Q_1 = (1 + y ^ 2) , x ‘^ 2 + 2xy , x’ , y ‘+ (1 + x ^ 2) , y’ ^ 2, $$
es decir, la métrica inducida en sí, que es, por supuesto, la afirmación de que las geodésicas tienen velocidad constante, y
$$ Q_2 = 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2) , x ‘, y’, $$
que se verifica fácilmente. (Es un hecho clásico que las ecuaciones geodésicas en cualquier superficie (no plana) de grado $ 2 $ en euclidiana $ 3 $-espacio tiene una segunda primera integral que es cuadrática en velocidades, a saber $ Q_2 = | K | ^ – 3/4 I ! I $ además de la primera integral obvia $ Q_1 = I $.)
Dado que hay dos primeras integrales independientes cuadráticas en velocidad, esta es una métrica de Liouville y, por lo tanto, se puede poner en forma de Liouville. Este es un procedimiento algorítmico; seguirlo conduce al resultado de que, si se establecen nuevas coordenadas $ z $ y $ w $ en la superficie por
$$ x = sinh left ( frac z + w 2 right) quad text y quad y = sinh left ( frac zw 2 right), $$
entonces tenemos las primeras integrales
$$ begin alineado Q_1 & = tfrac14 bigl ( cosh (z) + cosh (w) bigr) bigl (, cosh (z) , z ‘^ 2 + cosh (w ) , w ‘^ 2 , bigr) \ Q_2 & = tfrac14 bigl ( cosh (z) + cosh (w) bigr) bigl (, cosh (w) cosh (z ) , z ‘^ 2 – cosh (z) cosh (w) , w’ ^ 2 , bigr) end alineado $$
(Las coordenadas reales de Liouville serían $ (u, v) $ dónde $ mathrm d u = sqrt cosh z , mathrm d z $ y $ mathrm d v = sqrt cosh w , mathrm d w $, pero estas son integrales elípticas, y parece inútil cambiar a estas coordenadas.) En particular, para una unidad geodésica de velocidad, es decir, una para la cual $ Q_1 = 1 $ y $ Q_2 = c $ por alguna constante $ c $, tenemos $ Q_2-c , Q_1 = 0 $, asi que
$$ ( cosh (w) -c) cosh (z) , z ‘^ 2 – ( cosh (z) + c) cosh (w) , w’ ^ 2, $$
y uno puede así separar variables, produciendo
$$ frac cosh (z) , mathrm d z ^ 2 ( cosh (z) + c) = frac cosh (w) , mathrm d w ^ 2 ( cosh (w) -c). $$
Ahora, $ c = 0 $ corresponde a $ z pm w $ siendo constante, es decir, $ x $ o $ y $ es constante, que son líneas rectas en la superficie. Cuando $ c not = 0 $, la geodésica tiene que permanecer en la región donde $ cosh z + c $ y $ cosh w – c $ son no negativos, y tenemos una ecuación que se puede integrar ‘por cuadraturas’ para producir dos foliaciones por geodésicas de la región donde $ cosh z + c $ y $ cosh w – c $ son positivas.
$$ sqrt frac cosh z cosh z + c , mathrm d z = pm , sqrt frac cosh w cosh w – c , mathrm d w $$
Esto incluirá una familia que envuelve $ cosh z + c = 0 $ (si $ c <-1 $) o $ cosh w – c = 0 $ (si $ c> 1 $). (Las curvas $ z = 0 $ y $ w = 0 $ son geodésicas.)
Para calcular explícitamente la distancia entre dos puntos usando estas fórmulas, se necesitaría calcular la respuesta correspondiente $ z $ y $ w $ coordenadas de los dos puntos (fácil), encuentre el $ c $ pertenecientes a la geodésica (única) que une esos dos puntos (no trivial), y luego calcule las integrales elípticas como se indicó anteriormente.
Espero que la probabilidad de que uno realmente pueda llevar a cabo esto y encontrar una expresión de “forma cerrada” para la función de distancia en la superficie sea bastante baja.
No he resuelto los detalles, pero esto debería ser factible en coordenadas paraboloidales, de la misma manera que las geodésicas en un elipsoide fueron calculadas por Jacobi usando sus famosas coordenadas elipsoidales (inventadas para ese mismo propósito).
En la notación del artículo de Wikipedia, tome los parámetros como $ A = 1 $ y $ B = -1 $; luego la superficie de coordenadas $ mu = 0 $ es tu paraboloide $ 2z = y ^ 2-x ^ 2 $, y las geodésicas en cualquier superficie de coordenadas deberían ser posibles de integrar (más o menos) explícitamente, aunque los detalles pueden ser un poco desordenados. La idea es reescribir el hamiltoniano para el movimiento geodésico, $ H = (p_x ^ 2 + p_y ^ 2 + p_z ^ 2) / 2 $, en las nuevas coordenadas y aplicar el método Hamiltion-Jacobi (la ecuación de Hamilton-Jacobi es separable en estas coordenadas).
No tengo tiempo para buscar una buena referencia que explique el trabajo de Jacobi en este momento. Actualizaré la respuesta más tarde si encuentro algo.
Editar: Esto es lo que creo que es la forma más conveniente y menos propensa a errores de establecer las ecuaciones para las geodésicas. Cambiar a coordenadas paraboloidales en $ R ^ 3 $; Los llamaré $ (u_1, u_2, u_3) $ en lugar de $ ( lambda, mu, nu) $. Dado que este es un sistema de coordenadas ortogonal, el tensor métrico euclidiano es diagonal, $ ds ^ 2 = sum_ k = 1 ^ 3 h_k ^ 2 du_k ^ 2 $, dónde $ h_1 $, $ h_2 $, $ h_3 $ son los factores de escala dados en el artículo de Wikipedia. El paraboloide hiperbólico que le interesa es la superficie de coordenadas $ u_2 = 0 $, que es una variedad de Riemann en sí misma, con coordenadas $ (u_1, u_3) $ y tensor métrico dado por $ ds ^ 2 = h_1 ^ 2 du_1 ^ 2 + h_3 ^ 2 du_3 ^ 2 $ (donde por supuesto $ u_2 = 0 $ debe sustituirse en las expresiones por los factores de escala). En cualquier variedad de Riemann, las ecuaciones geodésicas son las ecuaciones canónicas hamiltonianas dadas por la función hamiltoniana $ H = frac 1 2 g ^ ij p_i p_j $, dónde $ g ^ ij $ es el tensor métrico inverso. En este caso, obtenemos $ H (u_1, u_3, p_1, p_3) = frac 1 2 left ( frac p_1 ^ 2 h_1 (u_1, u_3) ^ 2 + frac p_3 ^ 2 h_3 (u_1, u_3) ^ 2 derecha) $. Así que simplemente alimente esta función a Mathematica e integre numéricamente las ecuaciones $$ dot u _1 = H parcial / parcial p_1, $$$$ dot u _3 = H parcial / parcial p_3, $$$$ dot p _1 = – H parcial / u_1 parcial, $$$$ dot p _3 = – parcial H / parcial u_3, $$ con condiciones iniciales adecuadas. Esto le dará una geodésica que emana de un punto dado en una dirección determinada. El resultado está en términos de coordenadas paraboloidales, por supuesto, pero es trivial expresarlo en términos de coordenadas cartesianas (para graficar) usando las fórmulas que definen el cambio de variables. Encontrar una geodésica entre dos puntos dados parece más complicado; tal vez usar algún algoritmo de “disparo”?
Como escribí anteriormente, debería ser posible integrar las ecuaciones a mano, pero la integración numérica parece ser suficiente para sus propósitos.
Para la integración explícita de las geodésicas en el elipsoide, las propias conferencias de Jacobi son probablemente una fuente tan buena como cualquier otra (si puedes leer en alemán). Están disponibles en Internet Archive. Las coordenadas elípticas se describen en la lección 26, las geodésicas en el elipsoide en la lección 28 (p. 212).