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Solución:
Esto no es realmente posible en CSS puro.
Sin embargo, el uso de un preprocesador como SASS (ejemplo) o LESS (ejemplo) puede generar colores aleatorios porque están construidos con lenguajes de secuencias de comandos.
Una nota al margen que puede ayudar a los lectores en el futuro es la posibilidad de usar variables CSS. Podemos declarar una variable CSS diciendo
element
--main-bg-color: brown;
y usarlo así:
element
background-color: var(--main-bg-color);
Ahora podemos cambiarlo usando JS:
// From http://stackoverflow.com/a/5365036/2065702
var randomColor = "#"+((1<<24)*Math.random()|0).toString(16);
document.documentElement.style.setProperty('main-bg-color', randomColor);
O podría usar una forma completamente diferente de seleccionar un color aleatorio (como la entrada del usuario). Esto permite posibilidades como la tematización. Una cosa que debe considerar es la compatibilidad con el navegador porque no es excelente en este momento.
Encontré algo para ti aquí, pero usa PHP. Creo que es imposible con CSS simple.
Usando PHP
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