Nuestro grupo de trabajo ha estado horas buscando respuestas a tus dudas, te ofrecemos la respuesta así que deseamos resultarte de gran apoyo.
Solución:
¡Sí! Vea el hermoso artículo reciente de Ben Green y Terry Tao, que muestra que para grandes $ n $, cualquier colección de $ n $ puntos no todos colineales tendrá al menos $ n / 2 $ líneas ordinarias.
Aquí hay una generalización a espacios métricos finitos arbitrarios. Recuerde que el teorema de Sylvester-Gallai implica fácilmente el siguiente teorema.
Teorema a generalizar. Cada conjunto no colineal de $ n $ puntos en el plano determina al menos $ n $ líneas.
Tenga en cuenta que existe una definición de línea en un espacio métrico $ (X, d) $ usando la noción de intermediación, que ahora describiré. Decimos que un punto $ b $ es Entre puntos $ a $ y $ c $ si $ d (a, b) + d (b, c) = d (a, c) $. La línea determinada por dos puntos $ a $ y $ b $ es entonces el conjunto de puntos $ c $ tal que $ c $ está entre $ a $ y $ b $, o $ a $ está entre $ c $ y $ b $ , o $ b $ está entre $ a $ y $ c $.
Conjetura de Chen-Chvatál. Cada espacio métrico finito en $ n geq 2 $ puntos tiene al menos $ n $ líneas distintas o una línea universal.
Esta conjetura todavía está abierta, aunque hay una especie de industria de resultados que lo prueba para clases restringidas de métricas. Por ejemplo, existe este artículo de Aboulker y Kapadia que prueba la Conjetura de Chen-Chvatál para métricas provenientes de gráficos hereditarios de distancia.
Curiosamente, resulta que el teorema de Sylvester-Gallai no es válido para todos los espacios métricos finitos. Sin embargo, no hay espacios métricos finitos para los que se sabe que la conjetura de Chen-Chvatál es false.
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