Solución:
La función no trigonométrica * infinitamente diferenciable más simple que puedo pensar es $$ f (x) = sum_ {n in mathbb Z} e ^ {- (xn) ^ 2} tag {1} $$ La periodicidad es claro; La diferenciabilidad se deriva del hecho de que toda derivada de $ e ^ {- x ^ 2} $ tiene la forma $ p (x) e ^ {- x ^ 2} $ para algún polinomio $ p $, y la serie $$ suma_ {n en mathbb Z} | p (xn) | e ^ {- (xn) ^ 2} $$ converge uniformemente en cada intervalo acotado.
La función (1) a veces se denomina gaussiana periodizada, aunque parece que se usa el mismo término para las funciones no diferenciables obtenidas tomando una pieza central de la curva gaussiana y repitiéndola.
No explícitamente trigonométrico. Como dijeron otros, siempre hay una serie trigonométrica al acecho en el fondo. Una idea de Fourier fue que más o menos cada la función periódica debe ser expresable como una serie de Fourier $ a_o + sum_ {n ge 1} (a_n sin nx + b_n cos nx) $. La calidad de la convergencia depende de la fluidez de la función en cuestión, como era de esperar. Entonces, aparte de tecnicismos, cada
la función periódica es así expresable.
Al mismo tiempo, es muy interesante “hacer” funciones periódicas tomando algo como $ e ^ {- pi x ^ 2} $ gaussiano (como en la respuesta de @ NormalHuman) y “terminar” sumando traduce, a forzar la periodicidad. Con una función razonable $ f $ (por ejemplo, en la clase de Schwartz: infinitamente diferenciable y esta y todas las derivadas están disminuyendo rápidamente), hay una “suma de Poisson” $ sum_ {n in mathbb Z} f (n) = sum_ {n in mathbb Z} widehat {f} (n) $, donde $ widehat {f} $ es la transformada de Fourier. Esta relación bien conocida y fácilmente accesible en Google se deriva de la expresibilidad general de las funciones periódicas de las series de Fourier. Entre otras cosas, esto da una expresión para los coeficientes de Fourier de funciones periódicas por fuerza: por propiedades básicas de cambio de variable de la transformada de Fourier, $$ sum_ {n in mathbb Z} f (n + x) ; = ; sum_ {n in mathbb Z} widehat {f} (n) , e ^ {2 pi inx} $$ Una identidad encantadora, en mi opinión. 🙂
Tome $$ f ( theta) = theta ^ 4-2 pi ^ 2 theta ^ 2 $$ por $ – pi le x le pi $, y extiéndalo periódicamente. Esta no es explícitamente una función trigonométrica, aunque como se señaló en un comentario, al usar series de Fourier se puede escribir como una suma infinita de funciones trigonométricas.
Observe también que, si bien existe la derivada de $ f $, su tercera derivada no. Si desea un ejemplo que sea a menudo diferenciable arbitrariamente, necesitará algo más complejo.