Solución:
Tenemos
begin {eqnarray *} A _ { alpha} (x) = 1 + alpha x + alpha ( alpha-1) frac {x ^ 2} {2!} + alpha ( alpha-1) ( alpha-2) frac {x ^ 3} {3!} + cdots. end {eqnarray *}
Diferenciar este wrt para $ x $
begin {eqnarray *} frac {d} {dx} A _ { alpha} (x) = alpha left (( alpha-1) x + alpha ( alpha-1) frac {x ^ 2 } {2!} + Cdots right). end {eqnarray *}
Entonces
begin {eqnarray *} frac {d} {dx} A _ { alpha} (x) = alpha A _ { alpha-1} (x). end {eqnarray *}
Resolver esta ecuación diferencial inductivamente dará rápidamente
begin {eqnarray *} A _ { alpha} (x) = (1 + x) ^ { alpha}. end {eqnarray *}
Esta es solo la serie binomial
$$ sum_ {n ge0} alpha ^ { subrayado n} frac {x ^ n} {n!} = sum_ {n ge0} frac { alpha ^ { subrayado n}} {n !} x ^ n = sum_ {n ge0} binom { alpha} nx ^ n = (1 + x) ^ alpha. $$
Recuerde dos datos útiles sobre las funciones generadoras exponenciales: Primero, si $$ f (x) = sum_ {k geq 0} frac {a_k} {k!} x ^ k $$ es la función generadora exponencial para $ a_n $, entonces la función generadora exponencial para $ P (n) a_n $, dónde $ P $ es cualquier polinomio en $ n $, es $ P (xD) f (x) $, dónde $ D $ es el operador de diferenciación. Por ejemplo, $$ sum_ {k geq 0} frac {ka_k} {k!} x ^ k = sum_ {k geq 0} xD frac {a_k} {k!} x ^ k = xD f (x) = x f ‘(x). $$
Segundo, si $ f $ es el egf de $ a_n $, luego $ f ‘$ es el egf de $ a_ {n + 1} $.
En tu situación, tienes $ a_ {n + 1} = ( alpha – n) a_n $ por $ n geq 0 $. (Tenga en cuenta el cambio útil en las condiciones de contorno). Tomando el egf de ambos lados se obtiene $$ f ‘= ( alpha – xD) f, $$ o $$ f ‘= alpha f – xf’. $$ Esta es una ecuación diferencial lineal. ¿Puedes resolverlo?