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Función generadora de momentos de una distribución gamma

Luego de mucho luchar ya encontramos la contestación de este atascamiento que agunos lectores de nuestro espacio presentan. Si quieres aportar algún detalle puedes dejar tu comentario.

Solución:

Me gustaría dar otra respuesta. En lugar de la “integración repetida por partes” en la otra respuesta, podemos hacer lo siguiente:

Sabemos que la definición de la función gamma es la siguiente:

$$Gamma(s) = int_0^infty x^s-1e^-xdx$$

Ahora $int_0^infty e^txfrac1Gamma(s)lambda^sx^s-1 e^-xlambdadx$ = $fraclambda^sGamma(s)int_0^infty e^(t-lambda)xx^s-1dx$. Luego integramos por sustitución, usando $u = (lambda – t)x$así también $x=fraculambda-t$. esto nos da $fracdudx=lambda – t$es decir $dx = fracdulambda-t$. Ahora pongamos esto en la integral, entonces obtenemos:

$$fraclambda^sGamma(s)int_0^infty e^-uleft(fraculambda -tright)^s -1fracdulambda-t = left(fraclambdalambda-tright)^sfrac1Gamma(s)int_0^ infty u^s-1e^-udu$$

Aquí, en el lado derecho, reconocemos la integral como la función gamma, por lo que obtenemos $left(fraclambdalambda-tright)^sfracGamma(s)Gamma(s)$. Esos gamma se cancelan para que obtengamos lo que queremos:

$$left(fraclambdalambda-tright)^s$$

Su pregunta finalmente se convierte en mostrar lo siguiente:
$$int_0^infty e^txfrac1Gamma(s)lambda^sx^s-1 e^-xlambda dx = left(frac lambdalambda – tright)^s$$$$int_0^infty e^txfrac1Gamma(s)lambda^sx^s-1 e^-xlambda dx = fraclambda ^sGamma(s)int_0^infty x^s-1e^-(lambda-t)x dx$$
A partir de repetidas aplicaciones de integración por partes, se sabe que
$$int_0^infty x^ae^-bx dx = fracGamma(a+1)b^a+1$$
Haciendo esta sustitución obtenemos:
$$fraclambda^sGamma(s)int_0^infty x^s-1e^-(lambda-t)x dx = fraclambda^ sGamma(s)fracGamma(s)(lambda – t)^s = left(fraclambdalambda – tright)^s$ ps

Si tienes algún reparo y forma de beneficiar nuestro crónica eres capaz de escribir un paráfrasis y con placer lo observaremos.

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