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Solución:
Un simple cambio de variables le permite calcular $mathbbE[e^tX]$ por real $t$ y normal estándar $X$, $$ beginalign mathbbE[e^tX]&=frac1sqrt2piint_-infty^infty e^-frac12x^2e^tx,dx\ &= frac e^frac12t^2sqrt2piint_-infty^infty e^-frac12(xt)^2,dx\ &=frac e^frac12t^2sqrt2piint_-infty^infty e^-frac12y^2,dy\ &=e^frac12t^ 2. endalign $$ Aquí, se ha utilizado la sustitución $y=xt$. De hecho, esta identidad es válida para todo $t$ complejo también por continuación analítica. El lado derecho, $e^frac12t^2$ es claramente analítico. El lado izquierdo es analítico, ya que tiene la derivada $mathbbE[Xe^tX]ps El hecho de que pueda conmutar la diferenciación y la expectativa se deriva del teorema de la convergencia dominada. Dos funciones analíticas que concuerdan en la línea real deben concordar en todas partes (por continuación analítica). Entonces, la identidad es válida para todo $t$ complejo, y al reemplazar $t$ por $it$ se obtiene la expresión que solicita.
En Fristedt y Gray’s Un enfoque moderno de la probabilidad, los autores esbozan una prueba. Use integración por partes y convergencia dominada para mostrar que $beta(t)=int f(x) e^itx dx$ satisface la ecuación diferencial $beta^prime(t)=-t beta(t )$ con $beta(0)=1$. Tienes que justificar la manipulación de integrales de funciones valoradas en $mathbbC$.