Solución:
De hecho, el hecho de que se trate de una transformada de Fourier es, en general, una coincidencia matemática; la intuición no proviene de interpretarla como una transformada de Fourier, sino de considerarla desde otro ángulo, el de las funciones generadoras de momentos.
A lo largo de esta respuesta, asumo que todas las variables aleatorias tienen valores reales; parece que eso es lo que te preocupa de todos modos.
Si ha realizado algunas estadísticas, es casi seguro que esté familiarizado con el concepto de función generadora de momento de $ X $,
$$ M_X: mathbb R a mathbb R \ M_X (t) = mathbb E grande[e^tXbig]. $$
Esta función tiene muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, el $ n $-ésimo momento de $ X $, $ mathbb E grande[X^nbig]PS, se puede encontrar computando $ M_X ^ (n) (0) $, los $ n $-ésima derivada de $ M_X $ evaluado en $ 0 $. Otra aplicación importante es el hecho de que dos variables aleatorias con la misma función generadora de momentos tienen la misma distribución; es decir, el proceso de determinar una función generadora de momentos es “invertible”. Una tercera y también significativa aplicación es el hecho de que, para dos variables aleatorias independientes cualesquiera $ X $ y $ Y $, tenemos
begin align * M_ X + Y (t) & = mathbb E big[e^t(X+Y)big] \ & = mathbb E grande[e^tX e^tYbig] \ & = mathbb E grande[e^tX big] mathbb E grande[e^tY big] \ & = M_X (t) M_Y (t). end alinear *
(En un sentido un tanto informal, la tercera igualdad sigue al considerar $ e ^ tX $ y $ e ^ tY $ como variables aleatorias independientes.) Junto con el hecho de que las funciones generadoras de momento son invertibles, esto esencialmente nos permite derivar una fórmula para la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes; Con suerte, esta aplicación también aclara por qué hay una exponencial aparentemente arbitraria en la definición de la función generadora de momentos.
Ahora, el ejemplo clásico de una aplicación de funciones generadoras de momentos está en la demostración del teorema del límite central. Son un candidato natural, porque CLT involucra las sumas de variables aleatorias independientes, y las funciones generadoras de momento están bien equipadas para lidiar con estos asuntos. Sin embargo, existe un problema evidente con su uso: las funciones generadoras de momentos no siempre existen. En particular, una variable aleatoria con media infinita no tendrá una función generadora de momento convergente para ningún $ t $ otro que $ 0 $.
Aquí es donde entran las funciones características. Como usted sabe, definimos una función característica por
$$ varphi_X: mathbb R to mathbb C \ varphi_X (t) = mathbb E grande[ e^itX big]. $$
Todas las buenas propiedades que se aplicaron a las funciones generadoras de momento mencionadas anteriormente todavía se aplican a las funciones características. En particular:
-
los $ n $-ésimo momento de $ X $ se puede encontrar como $ (- i) ^ (n) varphi_X ^ (n) (0) $, si existiera
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dos variables aleatorias con la misma función característica tienen la misma distribución
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$ varphi_ X + Y (t) = varphi_X (t) varphi_Y (t) $ para autocaravanas independientes $ X $, $ Y $ (esto se prueba esencialmente de la misma manera que antes).
La diferencia crítica con las funciones generadoras de momento es la siguiente: las funciones características siempre existen, al menos de variables aleatorias de valor real. La razón intuitiva de que las funciones características siempre existirán es que los posibles valores tomados por $ e ^ itX $ todos se encuentran en el círculo unitario, por lo tanto, están acotados, por lo que, intuitivamente, la integral que define el valor esperado tomará un valor finito en algún lugar dentro del círculo unitario. Volviendo al ejemplo de CLT, esto nos permite completar nuestra prueba sin problemas; de hecho, si está interesado, la prueba en la página de Wikipedia utiliza funciones características.
Basado en esta pequeña narrativa, está bastante claro que toda la motivación para la introducción de $ i $ en el exponente de la función característica está el hecho de que la convergencia estará garantizada para una variable aleatoria de valor real. No es mucho más que una agradable coincidencia matemática que la función característica coincida con la transformada de Fourier, y tiene poco sentido (al menos en mi opinión) intentar trasladar intuiciones de la transformada de Fourier a la función característica; en cambio, la intuición se puede ver pensando en cómo se pudo haber descubierto esta función en primer lugar.
Realmente me gusta la respuesta de @hdighfan, pero también me gustaría abordar la pregunta de OP desde un ángulo diferente:
En mi humilde opinión, una de las cosas más interesantes sobre la transformada de Fourier es que transforma convoluciones para multiplicaciones, y este último es generalmente más fácil de manejar cuando se resuelven problemas reales.
Entonces, los FT son útiles donde las convoluciones son naturales. Ahora, no puedo comentar sobre física debido a la falta de antecedentes, pero sé más de la teoría del control / teoría del sistema, es decir, donde una entrada entra en un sistema y una salida sale por el otro extremo. El caso de los “principiantes” son los sistemas lineales, invariantes en el tiempo (LTI), donde la salida es la convolución de la entrada y la respuesta del sistema. Entonces, en este contexto, las transformadas de Fourier y Laplace son muy, muy útiles.
Otra forma de ver esto es preguntarse, ¿por qué es útil la representación en el dominio de la frecuencia? Esto se debe a que, en un sistema LTI, las sinusoides puras representan la base. Entonces, descompone una entrada en sinusoides (FT), multiplica cada una por una ganancia lineal que depende de la frecuencia y luego vuelve a ensamblar (FT inverso). La razón “energía a frecuencia $ f $“es un concepto útil es (en mi humilde opinión) en gran parte porque una sinusoide en la frecuencia $ f $ pasará por el sistema y saldrá quieto como una sinusoide en la frecuencia $ f $. Eso, además de muchos sistemas de la vida real, pueden describirse de manera muy útil (o especificarse en el diseño) como paso bajo, paso banda, paso alto, etc.
Entonces, en resumen, en mi humilde opinión, la interpretación del dominio de la frecuencia es menos útil en probabilidad porque hay menos situaciones naturales equivalentes (por ejemplo, el equivalente de los sistemas de paso bajo). Independientemente, los FT todavía convierten las convoluciones en multiplicaciones. Ahora bien, ¿dónde ocurren las convoluciones en probabilidad? Ocurren cuando sumas variables independientes. Es por eso que la función característica está exactamente en el punto óptimo para probar el CLT.
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