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Solución:
si, tienes dos ecuaciones $$beginalignx+y&=n\xy&=mendalign$$ dónde $n$ y $m$ son conocidos. Desde el principio, $y=nx$ Sustituye esto en el segundo y usa la fórmula cuadrática para verificar si las soluciones son números enteros.
EDITAR
La sustitución da $$x^2-nx+m=0$$ Por la fórmula cuadrática, $$x=npmsqrtn^2-4mover2$$ Así que ahora puedes comprobar si se trata de un número entero. Necesitas $n^2-4m$ para ser un cuadrado perfecto, y la fracción para llegar a un número entero. Si $x$ es un número entero, también lo es $y,$ ya que $n$ y $m$ tienen que ser números enteros. (Si $m$ y $m$ no son enteros, no hay posibilidad de solución integral.)
Pasé por alto la línea que comienza “Entonces, ¿hay alguna forma exacta de…” antes, y me temo que no entiendo lo que quieres decir.
Hay muchas funciones que cumplen con sus criterios.
En primer lugar, existe esta función. Es aburrido, ya que anula el sentido de la pregunta, pero vale la pena señalar que es una función matemáticamente válida:
1) $f(x, y) = cases1 & si $x$ y $y$ son enteros \ 0 y en caso contrario$
Del mismo modo, hay
2) $f(x, y) = x + y$ dónde $x$ denota la parte fraccionaria de $x$. Es 0 si ambos son enteros.
Por lo tanto, sería una buena idea establecer algunas restricciones adicionales en nuestras funciones para tener una pregunta significativa.
Una restricción típica podría ser pedir funciones que sean continuas y diferenciables (suaves), ya que la mayoría de las funciones y operaciones que usamos (suma, resta, multiplicación, trigonometría, etc.) tienen esta propiedad. Aquí hay una función continua y diferenciable (suave) que funciona:
3) $f(x, y) = sen^2(pi x) + sen^2(pi y)$
Esto es 0 si ambos $x$ y $y$ son números enteros.
Consideremos funciones continuas y diferenciables con un poco más de generalidad. Suponer $f(m, n) = k$ para algunos enteros $m$ y $n$. Considere una línea de trazado de contorno en altura $k$. Entonces podemos movernos ligeramente a lo largo de la línea y hacer $m$ y/o $n$ no entero conservando el valor $k$… A no ser que $(m, n)$ es un máximo o un mínimo, por lo que la línea de contorno es en realidad solo un punto. Esto significa que necesitamos funciones que tengan máximos o mínimos en cada punto entero.
Esto significa que no existen tales funciones que puedan expresarse en términos de operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, división, raíces).
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