Solución:
Nosotros siempre tenemos$$ int_a ^ b frac { mathrm d varphi} { mathrm dy} , mathrm dy = varphi (b) – varphi (a), $$por el teorema fundamental del cálculo. Entonces,$$ int_a ^ x frac { mathrm d} { mathrm dy} left ( int_a ^ y (yt) ^ nf
Voy a mostrar un bosquejo de una demostración de la fórmula de Cauchy para integrales repetidas. La fórmula dice:
$$ f ^ {(- n)} (x) = frac {1} {(n-1)!} int_ {a} ^ {x} (xt) ^ {n-1} f
Empecemos con $ n = 3 $, y luego intentamos generalizarlo. Luego:
$$ f ^ {(- 3)} (x) = int_ {a} ^ {x} int_ {a} ^ {u} int_ {a} ^ {s} f
$$ int_ {a} ^ {x} int_ {a} ^ {u} int_ {a} ^ {s} f
Ahora concéntrate en la integral doble dentro del paréntesis. A continuación se muestra un bosquejo de su región de integración.
Podemos intercambiar el orden de la integración, de acuerdo con la siguiente imagen:
Si lo hacemos, obtenemos la siguiente expresión para la integral doble interna
$$ int_ {a} ^ {u} int_ {a} ^ {s} f
$$ int_ {a} ^ {u} int_ {t} ^ {u} f
$$ Flecha derecha f ^ {(- 3)} (x) = int_ {a} ^ {x} int_ {a} ^ {u} int_ {a} ^ {s} f
Procediendo de la misma manera que lo hicimos antes (cambiando el orden de integración), obtenemos
$$ int_ {a} ^ {x} int_ {a} ^ {u} (ut) f
$$ int_ {a} ^ {x} int_ {t} ^ {x} (ut) f
La segunda integral en el lado derecho de la ecuación se puede resolver usando una sustitución: sea $ s = ut Flecha derecha ds = du $
$$ int_ {a} ^ {x} f
Y finalmente obtenemos:
$$ f ^ {(- 3)} (x) = int_ {a} ^ {x} int_ {a} ^ {u} int_ {a} ^ {s} f
Está empezando a emerger un patrón, si seguimos integrando más, podemos probar por inducción la fórmula de Cauchy.