Esta es el arreglo más completa que te podemos aportar, pero primero mírala detenidamente y valora si es compatible a tu trabajo.
Solución:
Al contrario de lo que dice queueoverflow, en realidad no necesita realizar ninguna integración aquí; un buen argumento de simetría te dará la respuesta.
Deje que el cubo que estamos considerando en el problema tenga una longitud de lado $ell$.
El truco es considerar poner la carga en el centro de un cubo imaginario de lado $2ell$. El flujo a través de la superficie de este cubo es solo $q/epsilon_0$ según la ley de Gauss, ya que es una superficie cerrada que contiene la carga. Ahora imagina dividir cada cara de este cubo más grande en cuatro cuadrados de longitud lateral $ell$. Por simetría, el flujo a través de cada uno de estos cuadrados es el mismo, pero hay un total de 24 de esos cuadrados ya que hay seis caras, por lo que el flujo a través de cada uno de estos cuadrados es $q/(24epsilon_0$).
Ahora, simplemente observe que si tuviéramos que cortar el cubo más grande en ocho cubos de longitud de lado $ell$, entonces cada uno de estos cuadrados mencionados en el último párrafo sería una cara de uno de estos cubos en el que la carga está en un esquina. QED.
Con respecto a tu confusión. Observe que una gran parte del flujo proveniente de la carga ni siquiera pasa a través de las caras del cubo cuando la carga está en su esquina. Solo una octava parte de su flujo total pasa por las caras del cubo, como se ilustra en el argumento anterior. Entonces, cada una de las tres caras opuestas a la carga recibe un tercio de este flujo porque las otras tres caras al lado de la carga son paralelas al campo eléctrico, por lo que no hay flujo a través de ellas.
Al final de todo puedes encontrar las críticas de otros programadores, tú igualmente eres capaz dejar el tuyo si lo crees conveniente.