Solución:
Si sospecha que existe una factorización superior a $ mathbb {Q}[x]$ en polinomios de grado 2 y 3, pero simplemente no conoce sus coeficientes, una forma es escribirlo como
$ x ^ 5 + x + 1 = (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e) $ donde los coeficientes son números enteros (según el lema de Gauss). Y luego expanda y resuelva el sistema.
Entonces $ a + c = 0, b + ac + d = 0, bc + ad + e = 0, ae + bd = 1, be = 1 $. Entonces obtenemos $ c = -a $ y $ b = e = 1 $ o $ b = e = -1 $.
En el primer caso reducimos a $ 1 – a ^ 2 + d = 0, -a + ad + 1 = 0, a + d = 1 $ lo que da $ d = 1 – a, 1 – a ^ 2 + 1 – a = 0, 1 – a ^ 2 = 0 $ entonces $ a = 1, b = 1, c = -1, d = 0, e = 1 $.
Sustituyendo nos da $ x ^ 5 + x + 1 = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 3 – x ^ 2 + 1) $
Si la factorización no superó $ mathbb {Q}[x]$ entonces las cosas se complicarían más porque no podría asumir $ b = e = +/- 1 $.
Con las identidades algebraicas, esto es bastante natural:
Recuerda que si tuviéramos todas las potencias de $ x $ hasta $ x ^ 0 = 1 $, podríamos factorizar fácilmente: $$ x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = frac { x ^ 6-1} {x-1} = frac {(x ^ 3-1) (x ^ 3 + 1)} {x-1} = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 3 + 1), $$ para que podamos escribir: begin {align} x ^ 5 + x + 1 & = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 3 + 1) – (x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2) \ & = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 3 + 1) -x ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) \ & = (x ^ 2 + x + 1) ( x ^ 3 + 1-x ^ 2). end {align}
Alternativamente, tenga en cuenta que $$ begin {align} x ^ 5 + x + 1 & = x ^ 5 – x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1 \ & = x ^ 2 (x ^ 3-1) + color {rojo} {x ^ 2 + x + 1} \ & = x ^ 2 (x-1) color {rojo} {(x ^ 2 + x + 1)} + color {rojo} {x ^ 2 + x + 1} \ & = color {azul} {(x ^ 3-x ^ 2 + 1)} color {rojo} {(x ^ 2 + x + 1)} end {align} $ PS
donde usamos la conocida identidad $ x ^ 3 – 1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) $ en la tercera igualdad.
Meta: Si bien el primer paso puede parecer arbitrario y mágico, es natural querer insertar un término como $ x ^ 2 $ o $ x ^ 3 $ en la ecuación para obtener algo de tracción con la factorización de $ x ^ 5 + x ^ k PS