Solución:
No estoy seguro de que llamaría a esto una categorización, pero la forma en que pienso en el Lema de Burnside es la siguiente.
Considere el subconjunto $ Z subconjunto G times X $ que consta de pares $ (g, x) $ tales que $ g cdot x = x $, donde por $ cdot $ solo me refiero a la acción de $ G $ en $ X $.
El producto cartesiano $ G times X $ viene con las dos sobreyecciones $ pi_G: G times X to G $ y $ pi_X: G times X to X $, y puedes calcular la cardinalidad de $ Z $ ya sea a lo largo de las fibras de $ pi_G $ oa lo largo de las fibras de $ pi_X $: el primero le da la suma sobre los conjuntos de puntos fijos, mientras que el segundo le da una suma sobre los estabilizadores. Luego, el teorema del estabilizador de órbita hace el resto.
Gracias a @Arrow, quien señaló que el enlace en mi comentario estaba roto. Es de esperar que haya un enlace que funcione con el mismo documento de una página.
Se puede ver el lema de Burnside como un caso especial del teorema ergódico de la media, que vincula los promedios temporales con los promedios espaciales, que pueden calificarse como “equiparar dos objetos del mismo tipo”. Por otro lado, el teorema ergódico medio es más complicado que el lema de Burnside, por lo que esto puede no calificar como una explicación intuitiva.
Sin embargo: dada una acción de preservación de la medida de un grupo susceptible $ G $ en un espacio $ X $, el teorema ergódico de la media nos dice que
$$ { bf E} _ {g in G} langle T_g f, f rangle_ {L ^ 2 (X)} = | pi (f) | _ {L ^ 2 (X)} ^ 2, $$
donde $ pi (f) $ es la proyección ortogonal de $ f $ a las funciones invariantes $ G $, y $ T_g f (x): = f (g ^ {- 1} x) $, y $ { bf E} _ {g en G} $ es una media de $ G $.
Si se aplica esto a la acción unilateral $ g: (x, y) a (gx, y) $ en el espacio del producto $ X times X $ equipado con medida de conteo, con $ f $ igual al delta de Kronecker función $ f (x, y) = delta_ {x, y} $, $ pi (f) $ es igual a $ 1 / | O | $ en el cuadrado $ O veces O $ de cada órbita $ O $, y así se obtiene
$$ { bf E} _ {g en G} | X ^ g | = | X / G | $$
que es el lema de Burnside.
Algunos pensamientos. $ X $ define una representación $ V = mathbb {C} ^ X $ de $ G $ con el carácter $ chi (g) = text {Fix} (g) $, y la proyección de $ V $ a su invariante subespacio es $ frac {1} {| G |} sum_ {g in G} g $, por lo que la traza de la proyección (que es la dimensión de su imagen) es $ frac {1} {| G | } sum_ {g in G} chi (g) $. Por otro lado, el subespacio invariante de $ mathbb {C} ^ X $ está dividido por sumas sobre órbitas, por lo que su dimensión es el número de órbitas. Expresado de esta manera, el lema de Burnside puede considerarse como una “fórmula de trazas” que relaciona una cantidad “geométrica” (el número de órbitas) con una cantidad “espectral” (la suma de puntos fijos). El valor de otros resultados más fuertes de este tipo es precisamente que los objetos en ambos lados son no del mismo tipo, por lo que quizás no sea natural esperar que estén más estrechamente relacionados que eso.
(Probé una categorización en $ G text {-Set} $ pero no me llevó a ninguna parte interesante).