Te recomendamos que pruebes esta resolución en un ambiente controlado antes de enviarlo a producción, un saludo.
Solución:
La regla para la multiplicación de números complejos es sumar los argumentos y multiplicar la longitud. Es decir, multiplicar por un número complejo corresponde a una rotación combinada con una operación de escalado. Por lo tanto, si desea multiplicar un número complejo $ n $ por sí mismo y producir un módulo dado $ r $ y un ángulo dado $ theta $, el módulo tiene que ser $ sqrt[n] r $, pero en realidad hay $ n $ ángulos diferentes de modo que al rotarlos $ n $ veces se produce una rotación de $ theta $ radianes.
Pero en realidad, no estoy seguro de que haya nada que explicar. Si tiene un montón de cosas que puede multiplicar juntas, entonces una “$ n $ -ésima raíz” simplemente significa “algo que cuando se multiplica por sí mismo $ n $ veces produce un resultado dado”. ¿Por qué, intuitivamente, solo habría uno de esos?
Puede ser más fácil racionalizar primero que las raíces complejas $ n ^ th $ de la unidad son los vértices de un $ n $ -gon regular inscrito en el círculo unitario.
Entonces, sea $ omega $ una primitiva $ n ^ th $ raíz de la unidad de modo que $ omega ^ n = 1 $. Si $ z_0 $ es cualquiera de las $ n ^ th $ raíces de $ z $, se deduce que $ w ^ k z_0 $ también es una $ n ^ th $ raíz de $ z $, ya que $ ( omega ^ kz_0) ^ n = ( omega ^ n) ^ kz_0 ^ n = 1 ^ k cdot z = z $. Por lo tanto, el conjunto completo de $ n $ $ n ^ th $ raíces de $ z $ es $ z_0, omega z_0, omega ^ 2 z_0, dots, omega ^ n-1 z_0 $ que son los vértices de un $ n $ -gon regular centrado en el origen y “anclado” en $ z_0 , $. Ese $ n $ -gon es solo el $ n $ -gon regular de las $ n ^ th $ raíces de la unidad $ 1, omega, omega ^ 2, dots, omega ^ n-1 $ escalado por $ | z_0 | = sqrt[n] $ y rotado por $ arg (z_0) , $.
No estoy seguro de lo que quiere decir con entenderlo intuitivamente.
Considere $ z = r ( cos theta + i sin theta) $ entonces las raíces son $$ z_k = r ^ frac 1 n ( cos frac theta + 2 pi k n + i sin frac theta + 2 pi k n), k = 0, 1, ldots, n-1 $$
Esto siempre da $ n $ raíces diferentes. Quizás esto es lo que quisiste decir con que lo entendiste matemáticamente …
Geométricamente, cuando multiplica $ 2 $ números complejos, $ z_1 = r_1e ^ i theta_1, z_2 = r_2e ^ i theta_2 $, obtiene $ z = r_1r_2e ^ i ( theta_1 + theta_2) $
Esto efectivamente toma $ z_1 $ y multiplica su radio por el de $ z_2 $ y lo rota por el ángulo de $ z_2 $.
Ahora, volviendo a las raíces $ z_k $ de $ z $, su radio es $ r ^ frac 1 n $, por lo que multiplicarlos por ellos mismos da un radio $ r $, y su ángulo es $ frac theta + 2 pi k n $ así que rotarlo $ n $ veces por el mismo ángulo da $ theta + 2 pi k $
¿Tiene sentido?