Solución:
La afirmación se trata solo de cadenas finitas (y, aparte de esto, solo se conjetura, no se ha probado). De hecho, su argumento hipotético es sólido y mostraría que $ pi $ es racional. El hecho de que no sea racional (de hecho, trascendental) muestra que no poder contenerse a sí mismo de una manera no trivial.
Con respecto a la segunda pregunta: No, todas las cadenas finitas no implican una cadena infinita dada. De hecho, el número $$ 0.123456789101112131415161718192021222324 ldots $$ obtenido al concatenar todos los números naturales demostrablemente contiene cada cadena finita, y entre estos $ 3 $, $ 31 $, $ 314 $, $ 3141 $ y así sucesivamente, pero ciertamente (aunque quizás no obviamente) no la expansión completa de $ pi $.
Hay una serie de observaciones que llevarían a la conclusión de que tener cada cadena finita como subcadena es totalmente diferente a tener cada cadena infinita como subcadena.
En primer lugar, “$ 100111000011111000000 … $” contiene (como una subcadena) cada cadena finita que consta de solo unos o solo ceros, pero no contiene las cadenas infinitas que consisten en solo unos o solo ceros.
En segundo lugar, la concatenación de todos los enteros positivos da como resultado “$ 12345678910111213 … $” que contiene todos los enteros positivos pero no contiene la cadena infinita “$ 0000 … $” porque cada entero positivo tiene un número finito de ceros. Esta es una declaración mucho más fácil de verificar que la afirmación de Hagen de que no contiene $ π $.
En tercer lugar, el número de subcadenas que contiene una cadena es contable y el número de cadenas infinitas es incontable, por lo que cualquier cadena dada no contendrá casi todas las cadenas infinitas.
En cuarto lugar, su intento de justificar su hipótesis es lógicamente defectuoso de una manera crucial. Si una cadena infinita $ x $ contiene todas las cadenas finitas, significa:
Para cada cadena finita $ y $:
Para alguna posición $ p $:
$ y $ ocurre en $ x $ en la posición $ p $.
Lo hace no implicar:
Para alguna posición $ p $:
Para cada cadena finita $ y $:
$ y $ ocurre en $ x $ en la posición $ p $.
que es lo que necesitaría para concluir que:
Para alguna posición $ p $:
$ π $ ocurre en $ x $ en la posición $ p $.
Este cambio de cuantificadores es un error lógico extremadamente común, pero debería ser muy obvio si lo escribiera como lo hice yo.