Recuerda que en las ciencias cualquier problema casi siempere puede tener diversas soluciones, de igual modo nosotros aquí te enseñamos lo más óptimo y mejor.
Solución:
La forma más sencilla de mostrar la existencia en nuestro caso es construir dicho espacio de probabilidad. La intuición es que es fácil definir la medida de probabilidad conjunta en algunos conjuntos “simples” utilizando la propiedad iid y luego se aprovecha el célebre teorema de extensión de Caratheodory.
Más precisamente, sea $(E,mathcal E)$ el espacio medible donde se supone que nuestras variables aleatorias toman valores y sea $mu$ una medida de probabilidad en $(E,mathcal E)$ que representa la distribución de tales variables aleatorias. Defina $Omega = E^mathbb N_0$ como el espacio de trayectorias contables sobre $E$ y sea $mathcal F$ su producto $sigma$-álgebra. Defina la medida de probabilidad $mathsf P$ en $(Omega,mathcal F)$ simplemente en función de la independencia, es decir, para cualquier $A_0,dots,A_Nin mathcal E$ ponemos $$ mathsf P( X_0en A_0,puntos,X_nen A_n):=mu(A_0)times dotstimes mu(A_n). $$ Hasta ahora, la medida $mathsf P$ solo está definida en la colección $mathcal A$ de rectángulos medibles, es decir, subconjunto de $Omega$ de la forma $A_0timesdotstimes A_ntimes Omega timesOmegatimesdots$ donde $A_iin mathcal E$. Uniones finitas de elementos de $mathcal A$ forman el álgebra, digamos $mathcal B$. Claramente, $mathsf P$ es una medida previa finita en $mathcal B$ y, por lo tanto, mediante el teorema de extensión de Caratheodory obtenemos la única medida $mathsf P$ en $mathcal F = sigma(mathcal B)$ .
Como ha señalado Ahriman, si estás dado una variable aleatoria $X:Omegato E$, puede que no sea posible construir la secuencia completa en $Omega$ ya que este último puede ser un espacio bastante pobre, por lo que tendría que optar por un espacio más rico. Por ejemplo, $E$ siempre se puede considerar como un espacio muestral para la distribución sobre él, tomando $mathrm id_E$ como una variable aleatoria. Pero en el caso de que $E = a,b$ y tenga $mu(a) = 0.4$ y $mu(b) = 0.6$, solo es posible construir una y solo una variable aleatoria definida en $E$ que tiene $mu$ como distribución.
Un enfoque muy concreto para construir una secuencia de variables aleatorias iid con distribución $F$ (decir, $F$ es la función de distribución acumulativa deseada) es proceder de la siguiente manera.
Es suficiente construir una secuencia de iid uniforme ps[0,1]ps variables aleatorias $(X_i)_ige 1$porque entonces $(F^flecha izquierda(X_i) )_ige 1$ es una secuencia de variables aleatorias iid con distribución común $F$. Aquí, $F^flecha izquierda$ es el inverso generalizado de $F$.
Así que construyamos concretamente una secuencia de uniforme iid ps[0,1]ps variable aleatoria. Tomar $Omega = [0,1]ps y $mathbf P$ Sea la medida de Lebesgue sobre $Omega$; allí, naturalmente, tenemos una sola función medible (o variable aleatoria) $U:Omegatomathbb R$ definido por $U(x)=x$ para cualquier $xen Omega$.
Ahora ver $U$ como una variable aleatoria, y escribe su descomposición en base $2$ como
$$U = sum_k=1^+infty B_k/2^k.$$
Ejercicio: demuestra que cada $(B_k)_kge 1$ es una secuencia de iid Bernoulli$(1/2)$ variables aleatorias en $Omega$.
Entonces podemos dividir el conjunto de números enteros positivos en muchos subconjuntos infinitos numerables; por ejemplo, deja $(p_n)_nge 1$ sea la sucesión de números primos y fr cualquiera $nge 1$dejar $I_n = p_n^j, j=1,2,3,4,… $. Cada $I_n$ es infinito y $I_ncap I_m = emptyset$ para cualquier $nne m$. De estos conjuntos $I_n$para cualquier $n$ definir
$$X_n = sum_k=1^infty B_varphi_n(k)/2^k$$
donde $varphi_n$ es una biyeccion $mathbb N_ge 1to I_n$ (es decir, el conjunto contable $I_n$ Se puede escribir como $I_n = \varphi(1), varphi(2),varphi(3), …$. porque los conjuntos $I_n$ son disjuntos, una variable aleatoria de Bernoulli $B_k$ se utiliza sólo en uno de los $X_n$‘s, por lo que podemos probar lo siguiente para concluir:
Ejercicio 2: demuestre que cada $X_n$ tiene la distribución uniforme en ps[0,1]psy que la secuencia $(X_1,…,x_n,…,)$ es iid.
Por lo tanto $Omega=[0,1]ps equipada con la medida de Lebesgue es lo suficientemente rica como para construir una secuencia de variables aleatorias iid con distribución $F$.
Como son iid, puede usar una medida de producto en un espacio de producto $OmegatimesOmegatimesOmegatimescdots$.
Y para muchos propósitos, puede tomar $Omega=mathbb R$ y dejar que los subconjuntos medibles de $Omega$ sean los conjuntos de Borel.
Si tienes algún contratiempo o forma de refinar nuestro enunciado eres capaz de realizar una disquisición y con gusto lo analizaremos.