Estate atento ya que en este enunciado encontrarás la solución que buscas.
Solución:
Efectivamente los hay, pero no suelen llamarse así. Lo que tienen en común las funciones trigonométricas e hiperbólicas ordinarias es que son soluciones de la ecuación diferencial $$f”(t) = af(t)$$ Cuando $a$ es negativo, las soluciones son senos y cosenos ordinarios, escalados horizontalmente por un factor que depende de $a$. Si toma una solución $f$ y dibuja la gráfica paramétrica $(x,y)=(f'(t), f(t))$, el resultado es una elipse cuya excentricidad depende de $a$. Para $a=-1$, el seno y el coseno ordinarios son soluciones, y obtienes un círculo.
Por otro lado, cuando $a$ es positivo las soluciones son senos hiperbólicos o cosenos hiperbólicos, de nuevo con un factor de escala horizontal que depende de $a$. Una gráfica de $(x,y)=(f'(t), f(t))$ es un brazo de una hipérbola con un ángulo central que depende de $a$. Para $a=1$ el seno y el coseno hiperbólicos son soluciones, y la hipérbola tiene un ángulo recto.
Entonces, intuitivamente, dado que una parábola es el caso límite entre una elipse y una hipérbola, deberíamos esperar obtener una “función parabólica” al establecer $a=0$. Desafortunadamente, la ecuación diferencial se convierte en $$f”(t)=0$$ cuyas soluciones son polinomios de primer grado, y es difícil hacer que creen una parábola. Sin embargo, hay una salida (¡muchas gracias a Qiaochu Yuan por señalar esto!): En lugar de $f”(t)=af(t)$, podemos tomar la ecuación diferencial básica como $$f”'( t)=af'(t)$$ En el caso de $ane 0$, todo esto cambia para permitirnos agregar un término constante a las soluciones, lo que simplemente mueve la cónica en el plano. Pero para $a=0$, las soluciones ahora son todos los polinomios de grado $le 2$. Y cuando tomamos cualquier polinomio cuadrático $f$ y graficamos $(x,y)=(f'(t), f(t))$, ¡lo que obtenemos es una parábola centrada alrededor del eje $y$!
Si tomamos $f$ como un primer grado polinomio, la gráfica paramétrica es solo una línea recta (vertical), otro caso límite de secciones cónicas.
En todos los casos anteriores, graficar $(f_1(t),f_2(t))$ para dos no relacionado Las soluciones (para el mismo $a$) generalmente producen una cónica del mismo tipo general, pero quizás movida y rotada. Y desaparece la dependencia de $a$ de la excentricidad/ángulo; que fue mediado a través del derivado en la posición $x$.
Entonces, una “función parabólica” es simplemente otro término (redundante) para un polinomio cuadrático. No está del todo claro cuál debe contarse como la Sin embargo, seno y coseno parabólicos. Se pueden hacer casos para $operatornamesinp(t) = t$ y $operatornamecosp(t) = 1+frac12 t^2$ o al revés, pero preocuparse demasiado por que es una tontería.
El problema de las formas generalizadas de trigonmetría ha sido abordado en el pasado por varios autores, E. Ferrari (universidad de Roma) propuso diferentes formas y demostró el vínculo con las funciones elípticas.
Dattoli, Migliorati y Ricci utilizaron el enfoque de Ferrari para estudiar las funciones trigonométricas parabólicas y el vínculo relevante con los polinomios de Chebyshev. Los artículos relevantes han aparecido en arXiv:
- Las funciones trigonométricas parabólicas
- Las funciones trigonométricas parabólicas y los radicales de Chebyshev
Podría escribir algunas funciones equivalentes, pero no serían muy útiles. Por ejemplo, para $y = x^2 -1$: $$x=frac-1pmsqrt1+4tan^2 (t)2tan (t)$$ $$y=frac1mpsqrt1+4tan^2 (t)2tan^2 (t)$$
No sé por qué estas funciones son menos útiles que las funciones hiperbólicas y trigonométricas habituales.
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