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Solución:
un ejemplo para $n = 1$ de la teoría de los paseos aleatorios. Dejar $f$ sea una función discontinua medible de Lebesgue (-n en todas partes) en $matemáticasR$. He aquí un ejemplo con $f$ delimitada por $1$solo mostrando la parte $x en [-3,3]PS. (Tenga en cuenta que apenas he submuestreado el gráfico en este intervalo. Si tuviera que muestrearlo por completo, esta representación de resolución finita casi seguramente parecería ser un rectángulo sólido de puntos del gráfico. En realidad producido al generar $10^6$ reales uniformemente distribuidos en PS[-1,1]PS asignado a abscisas espaciadas uniformemente, luego trazando una submuestra de tamaño $10^4$.)
Es casi seguro que esta función no es continua en ninguna parte (ya que cualquier intervalo abierto casi seguramente contiene puntos de alturas arbitrariamente cercanas a $-1$ y $1$). La integral de esta función,
$$int_0^x; f(t) ,mathrmdt $$
es diferenciable, pero no hay esperanza de diferenciabilidad continua. Gráfica de la integral (en realidad, aproximaciones de la suma de Riemann usando $10^6$ intervalos en PS[-3,3]PS):
Elegir una instancia diferente de acotado por $1$ función medible de Lebesgue discontinua en $matemáticasR$ e integrándolo de la misma manera, podemos graficar la integral.
Estos son diferenciables en casi todas partes por construcción (por el teorema de diferenciación de Lebesgue); sabemos que la derivada es $f$. (El teorema se generaliza a $n > 1$ y la integral de $int_[0,x_1]veces [0,x_2] veces cdots veces [0,x_n] ; f(t) ,mathrmdt$ donde entendemos que los intervalos son PS[0,a]PS Cuándo $0 leq a$ y PS[a,0]PS Cuándo $a < 0$.) De alguna manera, “la mayoría” de las funciones son en todas partes desordenes discontinuos, por lo que “la mayoría” de las funciones se pueden integrar en una función diferenciable, pero no continuamente diferenciable.
(Esta construcción se puede iterar para obtener una función que es continuamente diferenciable varias veces, pero cuya “última” derivada no es continua).
Considerar $f:mathbb R^2to mathbb R $ definido por
$$f(x,y)=begincasos(x^2+y^2)sinleft(frac1 sqrtx^2+y^2right),&(x ,y)neq 0\0,&(x,y)=0endcasos.$$ Luego $f $ es diferenciable en todas partes pero $dfracf parcialx parcial(x,y)$ y $dfracf parcialy parcial(x,y)$ no son continuos en $(0,0)$.
Puede encontrar un cálculo detallado para el ejemplo anterior en el libro Funciones de varias variables reales.
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