Si encuentras algún fallo con tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes subir el código al trabajo final.
Solución:
Suponga que $lvert Omegarvertgealeph_0$, y $mathscr Msubsetmathscr P(Omega)$ es un $sigma-$álgebra. Mostraremos que: $$ textitO bien,,,, lvertmathscr Mrvert caso i Si hay un número finito de clases, digamos $n$, entonces cada clase pertenece a $mathscr M$, y claramente $lvert mathscr Mrvert=2^n$. Caso II. Suponga que hay clases $aleph_0$. Arreglar una clase $[a]$, y sea $[a_n]:ninmathbb N$ sean las clases restantes. Por cada $ninmathbb N$, existen $E_n,F_nmathscrin M$, tal que $[a]subconjunto E_n$, $[a_n]subconjunto F_n$ y $E_ncap F_n=varnada$. Claramente, $[a]=bigcap_ninmathbb N E_ninmathscr M$, y por lo tanto $lvert mathscr Mrvert=2^aleph_0$. Caso III. Si hay muchas clases incontables, podemos elegir infinitas contables de ellas $[a_n]$, $ninmathbb N$, y conjuntos disjuntos $E_ninmathscr M$, con $[a_n]subset E_n$, (usando el Axioma de Elección), y luego darse cuenta de que el $sigma-$álgebra generada por los $E_n$ tiene la cardinalidad del continuo y es una subálgebra de $mathscr M$. No. Se usa la misma prueba que en el caso donde $Omega$ es contable e incontable. Si $cal B$ es un $sigma$-álgebra infinita, entonces $cal B$ tiene al menos la cardinalidad del continuo. La prueba es la siguiente, como $cal B$ es infinito, tiene un subconjunto contable $A_imid iinBbb N$. Si este conjunto contable es una cadena $subseteq$ (sin pérdida de generalidad, es creciente) toma $B_i=A_isetminusbigcup_{j Ahora es fácil demostrar que $cal B$ tiene al menos la cardinalidad del continuo. Si $DsubseteqBbb N$, toma $B_D=bigcup_iin DB_i$. Y es bastante fácil ver que $Dneq D’$ implica que $B_Dneq B_D’$. $cuadrado cuadrado$ Una palabra sobre la elección. $tinytextsf(con respecto a tomasz)$ Tenga en cuenta que esta prueba utiliza el axioma de elección. Usamos el hecho de que si $cal B$ es infinito, entonces tiene un subconjunto numerable infinito. De hecho, es consistente que hay un $sigma$-álgebra que es infinita, pero no tiene un subconjunto contablemente infinito. Por supuesto, esta $sigma$-álgebra tampoco es contable. Si solo estamos interesados en la respuesta a la pregunta original, entonces el axioma de elección no se usa en ninguna parte. Si hay un subconjunto infinito numerable, entonces sigue la demostración (observe que todas las opciones anteriores, excepto las $A_i$, se realizan por inducción en la secuencia elegida, por lo que, de hecho, están libres de CA); y si no hay un subconjunto infinito numerable, ¡entonces ciertamente $cal B$ no es contable! (Un ejemplo de tal $sigma$-álgebra que no tiene un subconjunto infinito numerable, es el conjunto potencia de un conjunto amorfo; donde amorfo significa que cada subconjunto es finito o su complemento es finito. ¿Por qué es esto un $sigma$- álgebra? A partir de una colección infinita numerable de subconjuntos, podemos definir un subconjunto co-infinito infinito, de una manera similar a la inducción anterior de $A_i$ a $B_i$.) Sea $mathcal B$ un $sigma$-álgebra infinita en un conjunto $Omega$. Partición $Omega$ en dos conjuntos disjuntos no vacíos $A_1,B_1inmathcal B$. Al menos uno de $mathcal Bcapmathcal P(A_1)$ y $mathcal Bcapmathcal P(B_1)$ es infinito; de lo contrario, si $|mathcal Bcapmathcal P(A_1)|=mltaleph_0$ y $|mathcal Bcapmathcal P(B_1)|=nltaleph_0$, tendríamos $|mathcal B|=mnltaleph_0$. Podemos suponer que $mathcal Bcapmathcal P(B_1)$ es infinito. A continuación, divida $B_1$ en dos conjuntos disjuntos no vacíos $A_2,B_2inmathcal B$ de modo que $mathcal Bcapmathcal P(B_2)$ sea infinito. Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia infinita $A_1,A_2,A_3,dots$ de elementos no vacíos disjuntos por pares de $mathcal B$. (Cada álgebra booleana infinita contiene tal secuencia; todavía no hemos usado $sigma$). Dado que $mathcal B$ es un $sigma$-álgebra, la unión de cada subsecuencia pertenece a $mathcal B$ , mostrando que $|mathcal B|ge2^aleph_0$. Recuerda mostrar este ensayo si te fue útil.