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Solución:
Las tablas de la verdad son sin duda un método muy sólido para los rompecabezas de Caballeros y bribones: son sistemáticas y fáciles.
Sin embargo, en lugar de su tabla de verdad, puedo sugerir:
Primero, usemos $ J $ porque “John es un caballero”
y $ B $ porque “Bill es un caballero
Luego, hay 4 opciones … como se refleja en 4 filas en la tabla de verdad, en lugar de 8. De hecho, como Ethan Bolker explica en el comentario, la afirmación de John de que “los dos somos bribones” es realmente derivado sobre las afirmaciones de $ J $ y $ B $ … es decir, es solo $ neg J tierra neg B $:
comenzararray cc J & B & neg J land neg B \ hline T & T & F \ T & F & F \ F & T & F \ F & F & T \ end array
Finalmente, John debe decir la verdad si y solo si es un caballero, es decir, los valores de verdad de la columna para $ J $ y $ neg J tierra neg B $ debe coincidir. Esto descarta las filas 1, 2 y 4, y nos deja con la fila 3: John es un bribón y Bill es un caballero.
Sin embargo, hay muchos otros métodos lógicos que puede utilizar.
Tenga en cuenta que John está diciendo la verdad si y solo si es un caballero, por lo que tenemos:
$ J leftrightarrow ( neg J land neg B) $
Bien, primero usemos el álgebra booleana para simplificar:
$ J leftrightarrow ( neg J land neg B) Leftrightarrow $
$ (J land ( neg J land neg B)) lor ( neg J land neg ( neg J land neg B)) Leftrightarrow $
$ (J land neg J land neg B) lor ( neg J land ( neg neg J lor neg neg B)) Leftrightarrow $
$ ( bot land neg B) lor ( neg J land (J lor B)) Leftrightarrow $
$ bot lor (( neg J land J) lor ( neg J land B)) Leftrightarrow $
$ bot lor ( neg J land B) Leftrightarrow $
$ neg J tierra B $
Genial: John es un bribón y Bill es un caballero
Ahora bien, esta derivación algebraica en particular fue en realidad algo complicada, pero por experiencia puedo decirles que el álgebra a menudo funciona de maravilla para estos rompecabezas de Caballeros y Bribones. Por ejemplo, tomemos un rompecabezas aleatorio de Caballeros y bribones de un único sitio web que contiene 382 rompecabezas de Caballeros y bribones. OK … generando un número aleatorio entre 1 y 382 … 78! OK, el problema 78 dice:
Conoces a tres habitantes: Homer, Dave y Bill. Homer te dice que ni Dave ni Bill son caballeros. Dave te dice que Homer y Bill son ambos caballeros. Bill dice que Homer es un caballero o Dave es un bribón.
OK, simbolicemos:
$ H leftrightarrow neg (D lor B) $
$ D leftrightarrow (H land B) $
$ B leftrightarrow (H lor neg D) $
Bien, los bicondicionales se pueden usar como tipos de sustituciones. Es decir, dado $ B leftrightarrow (H lor neg D) $, podemos sustituir $ H lor neg D $ por $ B $. Hagamos esto por $ D leftrightarrow (H land B) $, entonces obtenemos:
$ D leftrightarrow (H land (H lor neg D)) $
que por absorción se simplifica a:
$ D flecha izquierda H $
Ajá, entonces podemos sustituir $ D $ y $ H $ el uno para el otro también. En particular, hagamos esto por $ B leftrightarrow (H lor neg D) $, entonces obtenemos:
$ B flecha izquierda (H lor neg H) $
que por Complemento se convierte en:
$ B leftrightarrow top $
Esto no solo te dice que $$ es un caballero … sino que ahora también podemos usar esto como una sustitución de la primera premisa:
$ H leftrightarrow neg (D lor top) $
que se simplifica a:
$ H leftrightarrow neg top $
y por lo tanto:
$ H leftrightarrow bot $
Así que ahora sabemos que Homer es un bribón … y desde que sabemos que $ D flecha izquierda H $, por lo tanto, también tenemos que $ D $ es un bribón.
Sin todos los comentarios, esto es lo que hicimos:
comenzararray 1. & H leftrightarrow neg (D lor B) & Premise \ 2. & D leftrightarrow (H land B) & Premise \ 3. & B leftrightarrow (H lor neg D) & Premisa \ 4. & D leftrightarrow (H land (H lor neg D)) & Biconditional Substitution 2,3 \ 5 & D leftrightarrow H & Absorcion 4 \ 6. & B leftrightarrow ( H lor neg H) & Biconditional Substitution 3,5 \ 7. & B leftrightarrow top & Complement 6 \ 8. & B & 7 \ 9. & H leftrightarrow neg (D lor top) & Biconditional Substitution 1,8 \ 10. & H leftrightarrow neg top & Annihilation 9 \ 11. & H leftrightarrow bot & Inverse 10 \ 12. & neg H & 11 \ 13. & neg D & 5,12 \ end array
¡Dulce!
Bien, ahora hagamos una prueba formal … que va a formalizar el siguiente razonamiento: si John es un caballero, entonces está diciendo la verdad, y por lo tanto, John y Bill deben ser unos bribones … pero eso contradice la suposición de que John es un caballero. Por lo tanto, Juan no puede ser un caballero y, por lo tanto, debe ser un bribón. Entonces, John miente, y por lo tanto no puede ser true que John y Bill son bribones. Como ya se sabe que John es un bribón, Bill debe ser un caballero.
Bien, formalicemos este argumento y demostremos que John es un bribón y Bill es un caballero usando la premisa de que $ J leftrightarrow ( neg J land neg B) $:
comenzararray lll 1 & J leftrightarrow ( neg J land neg B) & Dado \ 2 & | J & Supuesto \ 3 & | neg J tierra neg B & flecha derecha Elim 1,2 \ 4 & | neg J & land Elim 3 \ 5 & | bot & bot Elim 2,4 \ 6 & neg J & neg Intro 2-5 \ 7 & | neg B & Supuesto \ 8 & | neg J land neg B & land Into 6,7 \ 9 & | J & rightarrow Elim 1,8 \ 10 & | bot & bot Intro 6 , 9 \ 11 & neg neg B & neg Intro 7-10 \ 12 & B & neg Elim 11 \ 13 & neg J land B & land Intro 6,12 \ end array
Bien, dos métodos más, los cuales son métodos de búsqueda de modelos. Primero, el método del árbol de verdad (también llamado método tableaux), donde sigue descomponiendo declaraciones y ve de qué maneras (si las hay) puede hacerlas. true:
Y luego tenemos Davis-Putnam, que es un poco más como una tabla de verdad, ya que explora sistemáticamente lo que sucedería con sus declaraciones al establecer las variables Verdadero o Falso:
En ambos casos, las únicas ramas abiertas son las que tienen $ J $ siendo falso y $ B $ ser true, así que una vez más: John es un bribón y Bill es un caballero.
Las tablas de verdad siempre funcionan, por supuesto, pero otro enfoque es utilizar álgebra en el campo con dos elementos. (es decir, los números enteros módulo 2) para representar valores de verdad.
Si dejamos $ 1 $ representar un true declaración y $ 0 $ representar un false declaración, entonces
- “X e Y” corresponde a $ xy $.
- “no X” corresponde a $ 1-x $.
- “X o Y” corresponde a $ x + y-xy $.
y por lo tanto podemos representar cualquier fórmula proposicional mediante una expresión polinomial. Finalmente, podemos representar “A dice (o diría) X” mediante la ecuación
$$ ( text A es un bribón) + x = 1 $$
ya que si A dice X, entonces sabemos que X es true o A es un bribón pero no ambos.
Para el rompecabezas simple en cuestión, introduzca variables $ j $ y $ b $ porque “John es un bribón” y “Bill es un bribón”. La declaración de John es entonces $ jb $ y el hecho conocido de que dice que es la ecuación
$$ j + jb = 1 $$
El álgebra ahora nos dice
$$ j (1 + b) = 1 $$
y la única manera de que eso sea true en $ mathbb F_2 $ es si $ j = 1 $ y $ 1 + b = 1 $. En otras palabras, “John es un bribón” debe ser true, y “Bill es un bribón” debe ser false.
A menudo, puede hacer una suposición y derivar una contradicción. Aquí, suponga que John es un caballero. Luego dice la verdad, pero “los dos somos bribones” sería false. Por tanto, Juan es un bribón. Ahora la declaración “ambos somos bribones” debe ser false, y sabemos que John es un bribón, por lo que Bill debe ser un caballero.
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