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¿Existe un campo vectorial que sea igual a su propio rotacional?

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Solución:

Me gustaría ofrecer una respuesta intelectual a esta pregunta. Si bien me doy cuenta de que es probable que esta solución esté por encima del nivel del OP, espero que sea de interés para otros.

Afirmar: Sean $u(x,y)$, $v(x,y)$, $w(x)$ funciones analíticas reales (definidas en una vecindad de $0$). Entonces existe un campo vectorial analítico real único $F = (F^1, F^2, F^3)$ que satisface $textcurl,F = F$ y $$beginalign F ^1(x,0,0) & = w(x) \ F^2(x,y,0) & = u(x,y) \ F^3(x,y,0) & = v (x, y). endalinear$$

Demostraremos esto aplicando el Teorema de Cauchy-Kovalevskaya dos veces. Aquí debo reconocer que vi por primera vez esta técnica aplicada a $textcurl,F = F$ en un ejercicio en "Nine Lectures on Exterior Differential Systems" de Robert Bryant.

Teorema de Cauchy-Kovalevskaya: Si $mathbfH$ y $phi$ son funciones analíticas reales cerca del origen, entonces hay una vecindad del origen en la que existe una solución analítica real única $mathbfg(mathbf x, t)$ a $$beginalign fracparcial mathbfgparcial t(mathbfx,t) & = mathbfH(mathbf x,t, mathbfg(mathbfx,t), fracparcial mathbfgparcial x^i) \ mathbfg(mathbf x, 0) & = phi(mathbfx) endalign$$ Un sistema PDE de esta forma se denominará "problema de Cauchy".


Configuración

La ecuación $textcurl,F = F$ puede verse como un sistema sobredeterminado de PDE; de hecho, un sistema de 4 ecuaciones cuasilineales de primer orden para 3 funciones desconocidas. Es decir, si escribimos $F = (F^1, F^2, F^3)$, entonces la condición $textcurl,F = F$ se convierte en: $$beginalign frac parcial F^2parcial z - fracparcial F^3parcial y & = F^1 tag1 \ fracparcial F^3 x parcial - fracparcial F^1parcial z & = F^2 tag2 \ fracparcial F^1parcial y - fracparcial F^2x parcial & = F^3. tag3 endalign$$ La cuarta ecuación es una especie de "condición de integrabilidad" oculta: a saber, cualquier solución $F$ a $textcurl,F = F$ debe satisfacer $text div,F = 0$. Esto nos da una cuarta ecuación (cuasilineal de primer orden) $$fracparcial F^1parcial x + fracparcial F^2parcial y + fracparcial F ^3z parcial = 0. tag4$$


Los problemas de Cauchy

Podemos escribir este sistema como una secuencia de dos problemas de Cauchy de la siguiente manera. Sean $u(x,y)$, $v(x,y)$ y $w(x)$ funciones analíticas reales arbitrarias.

Primero consideramos el problema de encontrar $g(x,y)$ tal que $$beginalign fracpartial gpartial y & = fracpartial upartial x + v(x,y) \ g(x,0) & = w(x). endalign$$ Por Cauchy-Kovalevskaya$^dagger$, existe una solución analítica real única $g(x,y)$.

En segundo lugar, siendo $g(x,y)$ una solución como la anterior, consideramos el problema de encontrar $F^1, F^2, F^3$ tal que $$beginalign fracpartial F^1parcial z & = -F^2 + fracparcial F^3parcial x \ fracparcial F^2parcial z & = F^ 1 + fracF parcial^3parcial y \ fracparcial F^3parcial z & = -fracparcial F^1parcial x - fracF^2 parcialy parcial \ F^1(x,y,0) & = g(x,y) \ F^2(x,y,0) & = u( x,y) \ F^3(x,y,0) & = v(x,y) endalign$$ De nuevo por Cauchy-Kovalevskaya, existe una solución analítica real única $F = (F ^1, F^2, F^3)$.

Por construcción, esta solución $(F^1, F^2, F^3)$ satisface las ecuaciones (1), (2) y (4). Se puede comprobar (¡ejercicio!$^*$) que este $F$ necesariamente satisface también la ecuación (3). Esto completa la demostración. $pastilla$


Notas finales

$^dagger$ Es cierto que exagera aquí

$^*$ Sugerencia para el ejercicio: considere $E(x,y,z) := fracparcial F^1parcial y - fracparcial F^2parcial x - F^3$. Comprueba que $E(x,y,0) = 0$ y $fracpartial Epartial z = 0$, y luego aplica la unicidad en Cauchy-Kovalevskaya.

Tenga en cuenta que este ejercicio muestra por qué necesitábamos el primer problema de Cauchy: es decir, ¡no podíamos simplemente elegir $F^1(x,y,0) = g(x,y)$ completamente arbitrariamente!

Para dar una respuesta final, encontré que, en las coordenadas de la unidad estándar, el campo $$F(x,y,z) = (-cos z, sin z, 0)$$ es igual a su curl . Una vez más, traído a usted por este documento.

PD Mi primer intento reveló que Wolfram Alpha es un tipo listo.

si $f =(sin z, cos z, 0) $ entonces $nabla times f = f$

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