Si encuentras alguna incompatibilidad en tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes añadir el código al trabajo final.
Solución:
La probabilidad de encontrar el electrón en algún volumen $V$ está dada por:
$$ P = int_V psi^*psi,dV tag1 $$
Es decir, construimos la función llamada densidad de probabilidad:
$$ F(mathbf x, t) = psi^*psi $$
e intégrelo sobre nuestro volumen $V$, donde, como sugiere la notación, la densidad de probabilidad es generalmente una función de la posición y, a veces, también del tiempo.
Hay dos formas en que la probabilidad $P$ puede resultar cero:
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$F(mathbf x, t)$ es cero en todas partes del volumen $V$ – tenga en cuenta que no podemos obtener una cancelación positiva-negativa ya que $F$ es un cuadrado y está en todas partes $ge 0$.
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llevamos el volumen $V$ a cero, es decir, en cuanto a la probabilidad de encontrar la partícula en un punto
Ahora volvamos a tu pregunta.
El nodo es un punto o una superficie (según el tipo de nodo) por lo que el volumen de la región donde $psi = 0$ es cero. Eso significa que en nuestra ecuación (1) necesitamos poner $V=0$ y obtenemos $P=0$ por lo que la probabilidad de encontrar el electrón en el nodo es cero. Pero (y sospecho que este es el punto de su pregunta) este es un resultado trivial porque si $V=0$ siempre terminamos con $P=0$ y no hay ningún significado físico especial para nuestro resultado.
Supongamos que, en cambio, tomamos un $V$ de volumen pequeño pero distinto de cero centrado alrededor de un nodo. En algún lugar de nuestro volumen, la función de densidad de probabilidad inevitablemente será distinta de cero porque solo es cero en un punto o plano nodal, y eso significa que cuando integremos siempre obtendremos un resultado distinto de cero. Entonces la probabilidad de encontrar el electrón cerca un nodo siempre es mayor que cero incluso si tomamos cerca para significar una diminuta, diminuta distancia.
Así que la declaración la probabilidad de encontrar el electrón en un nodo es cero es vacío o false dependiendo de si se interpreta que significa precisamente en un nodo o aproximadamente en un nodo.
Pero sospecho que la mayoría de los físicos considerarían esto como una discusión un tanto tonta porque generalmente querríamos decir que la probabilidad de encontrar el electrón en un nodo o superficie nodal es insignificantemente pequeña en comparación con la probabilidad de encontrarlo en cualquier otra parte del átomo.
Tienes toda la razón: la probabilidad de encontrar el electrón en ningún punto único (o en cualquier superficie particular) es cero. Sin embargo, la declaración tiene sentido: lo que realmente significa es más o menos lo siguiente.
Considere una caja $V$ con ancho/profundidad/alto $(w,d,h)$. Si todos estos son suficientemente pequeño para que la función de onda no varíe sustancialmente en todo el cuadro, puede aproximar $$ P = int_V!mathrmdV, |psi(mathbf r)|^2 approx |V| cdot |psi(mathbf r_c)|^2 = wcdot dcdot h cdot |psi(mathbf r_c)^2| $$ donde $psi(mathbf r_c)$ es la función de onda evaluada en (digamos) el centro de la caja. Ahora, si ese punto se encuentra dentro de un plano nodal, la aproximación anterior arroja cero.
Estrictamente hablando, esto es simplemente incorrecto: básicamente, la aproximación se rompe porque no hay un término cero en la expansión de Taylor, por lo que el término dominante se convierte en el lineal, incluso en un rango arbitrariamente pequeño. Sin embargo, en esa aproximación más adecuada, aún obtenga “prácticamente cero” como resultado: digamos que el plano nodal está en la dirección xy y $h$ mide en la dirección z. Entonces la integral se convierte en $$beginaligned P approx&, wcdot dcdot intlimits_-h/2^h/2!!mathrmdz, |psi(mathbf r_c + zcdot mathbfe_mathrmz)|^2 \ approx&, wcdot dcdot intlimits_-h/2^ h/2!!mathrmdz,left|zcdotfracparcialpsiparcial zBigr|_mathbfr_cright| ^2 \ =&, wcdot dcdot left|fracparcialpsiparcial zBigr|_mathbfr_cright|^2 cdot intlimits_-h/2^h/2!!mathrmdz,(z^2) \ =&, wcdot dcdot left|frac parcialpsiparcial zBigr|_mathbfr_cright|^2 cdot frac23 left(frach2right)^3 propto h^3 endaligned$$ así que a medida que reduce $h$, la probabilidad disminuye no solo proporcionalmente a medida que lo hace el volumen, sino con la tercera potencia, lo que lo convierte en muy pequeño de hecho.
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