Te damos el arreglo a este enigma, al menos eso esperamos. Si presentas preguntas déjanoslo saber en un comentario, para nosotros será un gusto responderte
Solución:
Aquí hay un enfoque que se basa en identidades trigonométricas y ciertos límites estándar. El enfoque implica cierta cantidad de trabajo en álgebra y debe usarse solo cuando están prohibidas herramientas más poderosas como la serie de Taylor o la regla de L’Hospital. Por otro lado, muestra que se pueden usar herramientas simples para abordar problemas difíciles si se las aplica correctamente.
Sea $t=arcsin x$ de modo que $x=sin t$ y luego $tan t=x(1-x^2)^-1/2$ de modo que $t=arctan x(1 -x^2)^-1/2$ y por lo tanto la expresión $arcsin x-arctan x$ se puede escribir como $$arctanfracx sqrt1-x^2 -arctan x=arctandfracx(1-sqrt1-x^2)x^2+sqrt1-x^2 $$ que se puede simplificar como $$ arctanfracx^3(x^2+sqrt1-x^2)(1+sqrt1-x^2)=arctan utext (decir) $ $ donde $u/x^3a 1/2$ y más $$frac2ux^3-1=frac1-(1+x^2)sqrt1-x^ 2(x^2+sqrt1-x^2)(1+sqrt1-x^2)$$ que se puede escribir como $$frac-x^2+ x^4+x^6(x^2+sqrt1-x^2)(1+sqrt1-x^2)(1+(1+x^2)sqrt 1-x^2)$$ y por lo tanto $$lim_xto 0frac1x^2left(frac2ux^3-1right) =-frac14tag1$$ Si $L$ es el límite deseado en cuestión y $f(x) $ es la función cuyo límite necesita ser evaluado entonces beginalign log L&=loglim_xto 0f(x)=lim_xto 0log f(x)text (a través de la continuidad de log) notag\ &=lim_ xa 0frac2x^2logleft(frac2arctan u x^3right)notag\ &=lim_xa 0 F rac2x^2cdotdfraclogleft(1+dfrac2arctan ux^3x^3right)dfrac2arctan ux^3 x^3cdotfrac2arctan ux^3x^3notag\ &=lim_xto 0frac2x^2cdot frac2arctan ux^3x^3notag\ &=lim_xto 0frac4arctan u-4ux^5+frac4u- 2x^3x^5notag\ &=lim_xto 04cdotfracarctan uu u^2cdotfracu^2x^ 6cdot x-frac12text (a través de la ecuación (1))notag\ &=-frac12notagendalign El límite deseado $L$ es por lo tanto $1/sqrte$. Hemos usado el límite $$lim_xto 0fracarctan xx x^2=lim_xto 0fracx-tan x x^2 =lim_xto 0fracxcos x-sin x x^2=0$$ que se puede probar sin la serie de Taylor o la regla de L’Hospital. También tenga en cuenta que el factor $u^2/x^6=(u/x^3)^2to (1/2)^2=1/4$.
Ten en cuenta dar recomendación a este ensayo si te valió la pena.