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Estimación del orden del grupo de automorfismo externo de un grupo simple finito

Después de investigar en diferentes repositorios y páginas webs al concluir hallamos la respuesta que te compartiremos pronto.

Solución:

Consulte el artículo "Generación probabilística de productos de coronas de grupos simples finitos no abelianos" de Martyn Quick. En la sección 3.1 consideró esta pregunta y obtuvo $ | Out G | leq | G | / 30 $ por cada grupo simple finito no abeliano $ G $, que era suficiente para sus necesidades.

Puede derivar límites de una manera sencilla de la lista completa de grupos finitos simples en Wikipedia, que tiene referencias (particularmente a ATLAS). Si revisa todos los casos (Nota: No había verificado a fondo todos los casos en una versión anterior de esta respuesta y obtuve un límite incorrecto), encuentra dos peores casos de forma asintótica:

  1. $ A_2 (2 ^ 2k) $ tiene orden $ 8 ^ 2k (4 ^ 2k -1) (8 ^ 2k -1) / 3 $ y grupo de autmorfismo externo de orden $ 12k $, por $ k geq 1 $.
  2. $ ^ 2A_2 (2 ^ 2k + 1) $ (escrito $ ^ 2A_2 (4 ^ 2k + 1) $ en Wikipedia) tiene orden $ 8 ^ 2k + 1 (4 ^ 2k + 1 -1) (8 ^ 2k + 1 +1) / 3 $ y grupo de automorfismo externo de orden $ 6 (2k + 1) $, para $ k geq 1 $.

En ambos casos, las asintóticas implican que el grupo de automorfismo externo tiene un orden no mucho mayor que $ 6 frac G log (2 ^ 8) $. Los límites óptimos se dan tomando $ k = 1 $, y el primer caso da una función un poco más grande, a saber, $ 6 frac G log 2 ^ 8 $ . Este es un límite superior para todos los grupos simples no abelianos y es nítido para $ A_2 (4) $.

Con respecto a su última pregunta, este límite es mucho mejor que lo que obtiene para grupos finitos en general. Por ejemplo, el grupo abeliano elemental $ ( mathbb Z / 2 mathbb Z) ^ n $ tiene el orden $ 2 ^ n $, pero su grupo de automorfismo externo es $ GL_n ( mathbb Z / 2 mathbb Z) $, que tiene el pedido $ prod_ k = 0 ^ n-1 (2 ^ n-2 ^ k) $. En otras palabras, un grupo de orden $ m $ puede tener un grupo de automorfismo externo con un tamaño de aproximadamente $ m ^ log m $ en lugar de $ log m $.

Recomiendo enumerar todas las posibilidades. Varias fuentes ya hacen esto, por lo que es bastante fácil volver a hacerlo; la tabla del ATLAS es bastante razonable. Básicamente, el grupo de automorfismos externos es ridículamente pequeño "la mayor parte" del tiempo, por lo que es posible que le interesen los detalles.

Creo que obtendrás | Fuera (G) | ≤ C * log (| G |) como el peor de los casos, pero esto es bastante pesimista la mayor parte del tiempo.

El grupo de automorfismo externo de un grupo alterno tiene un orden de 4 como máximo, y casi siempre tiene un orden de 2. Hay un número finito de grupos esporádicos, por lo que no importará asintóticamente, pero puedes revisar rápidamente la lista para ver si tienen fuera de tamaño. como máximo 2.

Los grupos de tipo Lie tienen un grupo de automorfismo externo de 3 partes; la diagonal, el campo y las partes del diagrama. La parte del diagrama tiene orden como máximo 6 (y solo para D4). La parte del campo es cíclica, pero puede ser "grande", como en, si "q" de su grupo es p ^ f, entonces es cíclica de orden f. La parte diagonal suele ser pequeña (pedir como máximo 4, o incluso pedir como máximo 2), pero puede ser más grande para PSL (n, q) y PSU (n, q). Incluso allí es cíclico de orden como máximo n.

Entonces, básicamente, maneja el caso de PSL / PSU con un poco más de cuidado, luego el caso de un grupo general de tipo Lie que usa límites de 4 y 6 para la diagonal y el diagrama para obtener algo como O (log (| G |)), luego maneja el resto que está limitado por una constante.

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