Mantén la atención porque en esta noticia encontrarás la respuesta que buscas.
Solución:
De la ecuación diferencial
$punto x = A(t)x etiqueta 0$
inferimos
$dot Vert x Vert^2 = dfracddtlangle x, x rangle = langle dot x, x rangle + langle x, dot x rangle$$= langle A(t)x, x rangle + langle x, A(t)x rangle = langle x, A^T(t)x rangle + langle x, A(t)x rangle = langle x, (A^T(t) + A(t))x rangle. etiqueta 1$
Ahora $A^T(t) + A(t)$ es una matriz simétrica para todos $t$por lo que sus valores propios son reales, y la condición
$textEig(A^T(t) + A(t)) < 0 tag 2$
presumiblemente significa que dichos valores propios son todos negativos; de esto se sigue que
$para todo t, ; langle x, (A^T(t) + A(t))x rangle < 0; etiqueta 3$
combinando (1) y (3) se obtiene
$2puntoVert x Vert Vert x Vert = dot Vert x Vert^2 < 0, tag 4$
que mientras
$Vert x Vert ne 0 tag 5$
implica
$puntoVert x Vert < 0, tag 6$
es decir, mientras $x ne 0$así que eso
$Vert x Vert > 0, tag 7$
$Vert x(t) Vert$ es monótonamente decreciente, por lo que el sistema es estable. $EODelta$.
Considere el sistema $puntox=-xe^-t$. Este sistema no converge a $x(t)=0$ como $tflecha derechainfty$ ya que el lado derecho decrece más rápido que exponencialmente y por lo tanto $x(t)$ converge a algún valor finito distinto de cero $0.
Tenga en cuenta que el valor propio es $-e^-t<0$ para todos $tin[0infty)$[0infty)$.
Este ejemplo nos dice que para la estabilidad exponencial, los valores propios no solo deben tener partes reales negativas, sino que también deben estar acotados fuera de cero.
Es bueno ver una discusión tan interesante y permítanme resumirla. La respuesta a su pregunta es “Sí” si solicita estabilidad en el sentido de Lyapunov, y “No” si solicita convergencia asintótica. En otras palabras, la condición $nombre del operadoreigleft(A(t)+A^top(t)right)<0$ es suficiente decir que $x(t)$ está acotado, y no es suficiente para decir que $x(t)a 0$. @Dmitry dio un buen ejemplo. De hecho, por $puntox(t)=-e^-tx(t)$ y $x(0)=1$ tenemos $x(t)=e^-1+e^-t$ y $x(t)a e^-1ne 0$. Al mismo tiempo, tenemos el análisis de la función de Lyapunov que muestra (falsamente) que el sistema converge. ¿Como es posible?
Bien, veamos qué sucede con la función de Lyapunov. Definir $V(x):=x^superior x$. Entonces, como se muestra arriba, tenemos $dotV(x,t) = x^top(t)left(A(t)+A^top(t)right)x(t) le 0$. Entonces concluimos que $puntoV(x,t)<0$ por $xne 0$. Bueno, de esta desigualdad sabemos con seguridad que $V(x)$ es acotada y no crece, por lo que inmediatamente obtenemos que $x(t)$ también está acotado. Con algunos argumentos estándar, incluso podemos demostrar que el equilibrio $x=0$ es estable Lyapunov; sin embargo, ¡no implica convergencia!
Ahora la parte difícil. es la condición $puntoV(x,t)<0$ suficiente para demostrar que $V(x)a 0$ y $xa 0$? ¡Sí para sistemas autónomos y no para sistemas no autónomos! Cuando tenemos $puntox=f(x)$ y $puntoV(x,t)=puntoV(x)<0$entonces esta desigualdad es uniforme en el tiempo, y de hecho concluimos que $V(x)a 0$. Cuando tenemos $puntox=f(x,t)$entonces la derivada temporal de $V(x)$ es una función del tiempo también y la desigualdad $puntoV(x,t)<0$ No es necesario uniforme en el tiempo. Esto es exactamente lo que sucede con el ejemplo anterior. si tomamos $V(x):=frac12x^2$o $$V(t)= frac12expleft(-2+2e^-tright),$$ entonces $puntoV(x,t) = -e^-tx^2$o $$dotV(t) = -e^-texpleft(-2+2e^-tright).$$ Vemos que la definición negativa de $puntoV(x,t)$ no es uniforme en $t$, y no se puede aplicar el segundo método de Lyapunov para sistemas autónomos. En efecto, $puntoV(t)a 0$ y $V(t)$ converge a una constante distinta de cero.
Bien, entonces, ¿qué necesitamos para reclamar la convergencia? Necesitamos la uniformidad. La forma estándar es mostrar que existe una función definida positiva continua $W(x)$tal que $puntoV(x,t)le -W(x)$ para todos $t$. Luego sigue la convergencia asintótica al origen. Para un sistema lineal variable en el tiempo, la condición suficiente para la convergencia asintótica (exponencial) es que existe una constante $alfa>0$ tal que $$nombre del operadoreigleft(A(t)+A^top(t)+alpha Iright)le0,$$ o, equivalentemente, $A(t)+A^top(t)le -alpha I$donde $yo$ es la matriz identidad. Entonces nosotros tenemos $$dotV(x,t) = x^top(t)left(A(t)+A^top(t)right)x(t) le -alpha x^ arriba x = -W(x).$$
Recuerda algo, que te damos el privilegio agregar una reseña si te ayudó.