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¿Esperanza del mínimo de dos variables aleatorias independientes?

Este dilema se puede solucionar de variadas formas, pero nosotros te dejamos la solución más completa en nuestra opinión.

Solución:

$F_X,Y(x,y)$ sea la función de distribución acumulativa conjunta. Entonces, para $Z= min(X,Y)$ $$ begineqnarray 1-F_Z(z) &=& mathbbPleft(min(X,Y) > zright) = mathbbPleft(X > z, Y>zright) \ &=& 1 – mathbbPleft(Xleqslant zright) – mathbbPleft( Yleqslant zright) + mathbbPleft(Xleqslant z, Yleqslant zright) endeqnarray $$ donde se aplicó el principio de inclusión y exclusión para obtener la última igualdad. Así $$ F_Z(z) = mathbbPleft(Xleqslant zright) + mathbbPleft(Yleqslant zright) – mathbbPleft(X leqslant z, Yleqslant zright) = F_X(z) + F_Y(z) – F_X,Y(z,z) $$ Observe que no hemos usado la información sobre la correlación de $X$ y $Y$.

Consideremos un ejemplo. Sea $F_X,Y(x,y) = F_X(x) F_Y(y) left(1+ alpha (1-F_X(x)) (1-F_Y(y))right)$, conocida como cópula de Farlie-Gumbel-Morgenstern, y sean $F_X(x)$ y $F_Y(y)$ cdfs de variables aleatorias uniformes en el intervalo unitario. Entonces, por $0

Sea: $U = min(X,Y)$, donde $min(X,Y)leq z$.

$Pr(min(X,Y) > z) = Pr((X>z) cap (Y>z))$.

$Pr(U>z) = Pr(X>z)*Pr(Y>z)$.

$Pr(Ugeq z) = (1 – Fx(z))*(1 – Fy(z))$.

$Fu(z) = 1 – (1 – Fx(z))*(1 – Fy(z))$.

Por lo tanto,

$F_min(x,y) = Fx(z) + Fy(z) – Fx(z)*Fy(z)$.

Si sostienes alguna desconfianza o forma de aclararse nuestro ensayo puedes escribir una crónica y con deseo lo analizaremos.

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