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Espacios métricos homeomorfos donde el mapa de identidad no es un homeomorfismo

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Solución:

Toma cualquier espacio métrico $(X,d)$ para el cual existe una función discontinua biyectiva $fdos puntos Mlongrightarrow M$ y definir $d'(x,y)=dbigl(f(x),f(y)bigr)$. Después $f$ es un homeomorfismo (en realidad, es una isometría) de $(M,d’)$ dentro $(M,d)$. Sin embargo, la identidad no es un homeomorfismo de $(M,d’)$ dentro $(M,d)$.

Dejar $M=\cupleft\frac1n:ninBbb Z^+right$y deja $d$ ser la métrica habitual en $ millones. Definir una nueva métrica $d’$ en $ millones como sigue:

$$d'(x,y)=begincasos |xy|,&textsi0

Esto simplemente intercambia los papeles de $0$ y $1$: el mapa

$$h:Mto M:xmapstobegincasos x,&textif0

es un homeomorfismo entre $ángulo M,drángulo$ y $ángulo M,d’rángulo$ en cualquier dirección, pero el mapa de identidad no es: $0$ es el único punto no aislado con respecto a $d$tiempo $1$ es el único punto no aislado con respecto a $d’$.

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