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Espacio de Cantor: ¿ejemplo de un conjunto abierto que no es cerrado?

Luego de investigar con especialistas en la materia, programadores de varias áreas y maestros dimos con la solución al dilema y la dejamos plasmada en este post.

Insinuación: Observa el complemento de un punto: el espacio de Cantor es no discreto.

Luego: Dado que el conjunto de Cantor es homeomorfo a un producto contable $prod_n=1^infty mathbbZ/2mathbbZ$ del grupo cíclico de orden dos (use la identificación del cantor conjunto con los puntos en $[0,1]$ cuya expansión ternaria infinita no contiene $1$), es homogéneo. Esto significa en particular que el conjunto de Cantor tiene no puntos aislados y por lo tanto no tiene puntos abiertos.

Ahora tenga en cuenta que un conjunto abierto básico tiene la forma $prod_n=1^infty X_n$ con todos menos un número finito de $X_n = mathbbZ/2mathbbZ$. Pero esto significa que un conjunto abierto básico contiene un espacio homeomorfo a todo el espacio de Cantor, por lo que los conjuntos abiertos no vacíos son incontables (de hecho, de cardinalidad $mathfrakc$). En particular, vemos que una sucesión convergente (que por supuesto es cerrada) no puede ser abierta. Pasando a complementos obtenemos un conjunto abierto que no es cerrado, como se requiere.

[Meta: Thanks to ccc for pointing this out and to Brian for making me think again.]

Solo haz una especie de espina de pescado y quita la espina: $$bigcup_i=1^infty [10^i].$$

Si estás de acuerdo, tienes la opción de dejar un escrito acerca de qué le añadirías a esta división.

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