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Solución:
Cuando alguien dice “función parcial”, la interpretación habitual es que la función puede o puede que no definirse en todo el dominio. La palabra también se usa a veces con el significado “no total”, pero ese significado es relativamente raro y, por lo general, solo se entenderá en contextos donde el significado ordinario sería claramente sin sentido.
La forma inequívoca de decir que una función no es total es “no total”.
Tenga en cuenta que en casi todos los subcampos matemáticos, la palabra “función” por sí sola significa “función total”; solo agregamos la palabra “total” cuando existe el riesgo de que el lector piense que también estamos permitiendo los no totales.
Si. Una función parcial de $ A $ a $ B $ es una función total $ U a B $ para algunos $ U subseteq A $; bajo esta definición, una función total es solo una función parcial con $ U = A $. Esto es válido desde $ A subseteq A $.
Sí, creo que, en general, cualquier cosa “total” se suele considerar o definir como cosas “parciales” que resultan ser totales. Por lo general, en la práctica, primero se define el concepto parcial más general y luego se define el concepto total añadiendo la condición de totalidad adicional a la definición original.
Por ejemplo, es posible que haya visto el concepto de un pedido parcial. Un ordenamiento lineal o un ordenamiento total es solo un ordenamiento parcial en el que todo es comparable.
En términos de funciones, en la teoría de la computabilidad esta convención se usa realmente, las funciones computables parciales son la función dada por las Máquinas de Turing, pero pueden no estar definidas en todos los $ n in omega $. (Intuitivamente, los algoritmos o programas de computadora no necesariamente se detienen en todas las entradas). Posteriormente, las funciones computables totales (o funciones computables para abreviar) son las funciones computables parciales totales, o menos incómodo sonando las funciones computables parciales que se definen para todos los $ n in omega $.
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