Solución:
Sí, como un ideal se cierra bajo la suma y la resta, es un subgrupo. Dado que un anillo es además un grupo abeliano en adición, todos los subgrupos son normales.
EDITAR:
Para responder explícitamente a sus preguntas:
1) Dado que un subanillo también es un subgrupo y la suma es abeliana, algo debe ser primero un subgrupo normal para ser un ideal.
2) Sí, la definición clara de la suma requiere técnicamente ser un subgrupo normal.
Recuerde la situación de un grupo $ G $ y un subgrupo $ H $.
Sabemos si $ H $ es un normal subgrupo, entonces se obtiene un grupo de factores $ G / H $, si no es normal, entonces no.
Pero recordemos con más precisión cuál es el problema allí. Si $ H $ no es normal, aún se puede definir el conjunto $ G / H $ (y también $ H backslash G $) pero no ya no tiene una ley de composición inducida. Entonces, $ G / H $ no es un grupo, pero no “por la razón habitual” de que no se cumplan algunas de las proposiciones de la ley de composición, sino porque no existe una ley razonable para empezar.
Tenga en cuenta que si tiene clases $ gH $ y $ g’H $ y desea definir $ (gH) cdot (g’H) = gg’H $, entonces necesita $ ghg’h ‘ in gg’H $ para todos $ h, h ‘ en H $, lo que conduce a la condición $ hg’ in g’H $ y luego a $ g ‘^ {- 1} hg’ in H $, que es exactamente la propiedad de $ H $ es un subgrupo normal.
Ahora, pasemos a los anillos. Tiene un anillo $ R $ y un subanillo $ H $ y se pregunta cuándo se puede definir una estructura de anillo en $ R / H $ (donde $ R / H $ se define como clases $ mod H $ con respecto a la suma ). Para la estructura aditiva nunca hay un problema ya que $ (H, +) $ es un subgrupo de $ (R, +) $ y por conmutatividad es normal, y todo está bien.
Sin embargo, ¿qué pasa con la multiplicación? Cómo definir $ (a + H) cdot (b + H) $. Bueno, ‘por supuesto’ como $ ab + H $. Pero para que esto esté bien definido, necesita que $ (a + h) (b + h ‘) en ab + H $ para todos $ h, h’ en H $ que es el caso si (y en general solo si) $ ah ‘ en H $ y $ hb en H $, es decir, necesita $ aH subconjunto H $ y $ Hb subconjunto H $. ¡Y tenga en cuenta que también necesita esa condición adicional para los anillos conmutativos! (Por supuesto, entonces uno de los dos es suficiente).
Entonces, si desea una multiplicación en $ R / H $, entonces solo puede considerar $ H $ de manera que $ aH subset H $ y $ Ha subset H $ para todos $ a en R $ (y también $ HH subconjunto H $ pero esto viene dado por ser un subanillo y / o como un caso especial de la propiedad recién mencionada), al igual que cuando desee una multiplicación en $ G / H $, entonces solo puede considerar $ H $ de manera que $ g ^ {- 1} Hg subset H $ para todos los $ g en G $.
Esta analogía es lo que se señala allí.
Para responder a sus preguntas de manera más específica, las propiedades que necesita para que $ R / H $ tenga una estructura de anillo natural son:
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$ (H, +) $ es un [normal] subgrupo de $ (R, +) $.
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$ HH subconjunto H $.
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$ aH subconjunto H $ y $ Ha subconjunto H $ para todos los $ a en R $.
Los dos primeros se resumen diciendo que $ H $ es un subanillo (pero de hecho podría eliminar 2 en total, ya que es un caso especial de 3).
Sin embargo, la razón por la que se mencionan subgrupos normales en ese momento es no 1. pero que 3. es una condición análoga a “normal” en el contexto del grupo.
Todo ideal es el núcleo de un homomorfismo en anillo. Dado que todo homomorfismo de anillo es un homomorfismo aditivo, todo ideal es el núcleo de un homomorfismo aditivo y, por tanto, un subgrupo aditivo normal.