Solución:
Suponer $ theta $ es la cantidad desconocida de interés. Una condición necesaria y suficiente para un estimador insesgado (suponiendo que exista uno) de alguna función paramétrica $ g ( theta) $ para ser UMVUE es que debe no estar correlacionado con cada estimador insesgado de cero (asumiendo, por supuesto, que el estimador insesgado tiene un segundo momento finito). Podemos utilizar este resultado para demostrar la singularidad de UMVUE siempre que exista.
Si es posible, suponga $ T_1 $ y $ T_2 $ son ambos UMVUE de $ g ( theta) $.
Luego $ T_1-T_2 $ es un estimador insesgado de cero, de modo que por el resultado anterior tenemos
$$ operatorname {Cov} _ { theta} (T_1, T_1-T_2) = 0 quad, , forall , theta $$
O, $$ operatorname {Var} _ { theta} (T_1) = operatorname {Cov} _ { theta} (T_1, T_2) quad, , forall , theta $$
Por lo tanto, $$ operatorname {Corr} _ { theta} (T_1, T_2) = frac { operatorname {Cov} _ { theta} (T_1, T_2)} { sqrt { operatorname {Var} _ { theta } (T_1)} sqrt { operatorname {Var} _ { theta} (T_2)}} = sqrt frac { operatorname {Var} _ { theta} (T_1)} { operatorname {Var} _ { theta} (T_2)} quad, , forall , theta $$
Ya que $ T_1 $ y $ T_2 $ tienen la misma varianza por supuesto, correlación entre $ T_1 $ y $ T_2 $ es exactamente $ 1 $. En otras palabras, $ T_1 $ y $ T_2 $ están relacionados linealmente, es decir, para algunos $ a, b ( ne 0) $, $$ T_1 = a + bT_2 quad, text {ae} $$
Tomando la varianza en ambos lados de la ecuación anterior se obtiene $ b ^ 2 = 1 $, o $ b = 1 $ ($ b = -1 $ no es válido porque conduce a $ T_1 = 2g ( theta) -T_2 $ ae en tomar expectativa, que no puede ser verdad como $ T_1, T_2 $ no dependas de $ theta $). Entonces $ T_1 = a + T_2 $ ae y eso lleva a $ a = 0 $ al asumir la expectativa. Por lo tanto, $$ T_1 = T_2 quad, text {ae} $$
El teorema de Lehman-Scheffe dice que la expectativa condicional de un estimador insesgado dada una estadística suficiente completa es el mejor estimador insesgado único.
Una estadística suficiente completa para una familia de distribuciones de probabilidad es única en el sentido de que dado el valor de cualquiera de ellas, puede calcular el valor de otra sin saber de qué distribución de probabilidad dentro de la familia se está muestreando. Por ejemplo, la pareja
$$ left (X_1 + cdots + X_n, X_1 ^ 2 + cdots + X_n ^ 2 right) etiqueta 1 $$
es suficiente para una muestra de iid de la familia $ {, N ( mu, sigma ^ 2): mu in mathbb R, sigma in mathbb R ^ + , } $. Entonces es la pareja
$$ left ( bar X = frac {X_1 + cdots + X_n} {n}, (X_1- bar X) ^ 2 + cdots + (X_n- bar X) ^ 2 right) etiqueta 2 $ PS
Note que dado el par $ (1) $, puedes calcular el par $ (2) $ sin conocer los valores de $ mu $ y $ sigma ^ 2 $, y viceversa. En ese sentido son equivalentes. Además, ya sea $ (1) $ o $ (2) $ es completo en el sentido de no admitir ningún estimador insesgado de cero.
En consecuencia, si encuentra la expectativa condicional de cualquier estimador insesgado de cualquier función de $ mu $ y $ sigma ^ 2 $ dado $ (1) $, obtienes lo mismo que si encontraras la expectativa condicional dada $ (2) $. Por tanto, el UMVUE es único.