Esta duda se puede solucionar de variadas maneras, pero te enseñamos la resolución más completa para nosotros.
Solución:
La respuesta es “sí”, y el resultado se puede encontrar en Topología general de Bourbaki, Parte I, Ejercicio 19 a $S$ 10 del Capítulo 1, en la página 153 de la traducción al inglés publicada por Springer. El ejercicio tiene una pista, pero me llevó bastante tiempo elaborar completamente la demostración. Así que trato de presentar el argumento con algunos detalles más incluidos.
Primero aclaremos algo de terminología. A vecindario de un conjunto $A$ es cualquier conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene $A$. Un espacio $X$ es compacto si cualquier cubierta abierta de $X$ tiene una subcubierta finita. un espacio es localmente compacto si es Hausdorff y cualquier punto tiene un vecindario compacto; está $sigma$-compacto si es una unión contable de conjuntos compactos. A $sigma$-localmente compacto space es un espacio que es a la vez $sigma$-compacto y localmente compacto. A normal El espacio es un espacio en el que dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindades disjuntas.
Es bien sabido que todo espacio compacto de Hausdorff es normal y, en un espacio normal, dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindades cerradas disjuntas. Un espacio normal en el que todo singleton está cerrado es necesariamente Hausdorff. Si $X$ es compacto y $Y$ es arbitrario, entonces la proyección a la segunda coordenada $textitpr_2colon Xtimes Yto Y$ es un mapeo cerrado. También se sabe que cada $sigma$-espacio de Hausdorff localmente compacto $X$ se puede expresar como $bigcup_ninomegaX_n$, donde $X_n$ están abiertos, $overlineX_n$ son compact y $overlineX_nsubseteq X_n+1$, por cada $n$.
Sea $E$ una relación de equivalencia sobre $X$. Denotar por $[A]$ el saturación de un conjunto $Asubseteq X$, es decir, $[A]=yen X!:(existe xen A),(x,y)en E$. Si $Ysubseteq X$ entonces $E_Y=Ecap(Ytimes Y)$ es una relación de equivalencia en $Y$. La saturación de un conjunto $Asubseteq Y$ con respecto a $E_Y$ es $[A]cap Y$. Si $A,Bsubseteq Y$ son conjuntos disjuntos saturados con respecto a $E_Y$ entonces sus saturaciones $[A]$, $[B]$ con respecto a $E$ también son disjuntos.
Lema.
Sea $X$ un espacio compacto de Hausdorff y sea $E$ una relación de equivalencia en $X$ tal que $E$ es un subconjunto cerrado de $Xveces X$. Entonces el cociente mapea $qcolon xmapsto[x]$ está cerrado.
Prueba.
Sea $A$ un subconjunto cerrado de $X$. Entonces $A$ es compacto y $[A]=textitpr_2(Ecap(Atimes X))$. Dado que $Ecap(Atimes X)$ es cerrado en $Atimes X$ y $textitpr_2$ es un mapeo cerrado, $[A]$ es un subconjunto cerrado de $X$. Por lo tanto, $q$ está cerrado.
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Lema.
Sea $X$ un espacio normal y sea $E$ una relación de equivalencia en $X$ tal que el cociente mapee $qcolon xmapsto [x]$ está cerrado. Entonces el espacio cociente $X/E$ es normal.
Prueba.
Sean $A,B$ subconjuntos saturados cerrados disjuntos de $X$. Como $X$ es normal, existen conjuntos abiertos disjuntos $U,V$ tales que $Asubseteq U$ y $Bsubseteq V$. entonces $[Xsetminus U]$ y $[Xsetminus V]$ son conjuntos saturados cerrados disjuntos de $A$ y $B$, respectivamente, por lo tanto, $U’=Xsetminus [Xsetminus U]$ y $V’=Xsetminus [Xsetminus V]$ son vecindades saturadas abiertas de $A$ y $B$, respectivamente. Si $zin U’cap V’$ entonces $[z]$ es disjunto tanto de $Xsetminus U$ como de $Xsetminus V$, por lo tanto $zin Ucap V$, una contradicción. De ello se deduce que $U’,V’$ son disjuntos, por lo que dos subconjuntos cerrados disjuntos de $X/R$ tienen vecindades abiertas disjuntas.
qed
Teorema.
Sea $X$ un espacio de Hausdorff compacto localmente $sigma$ y sea $E$ una relación de equivalencia en $X$ tal que $E$ es un subconjunto cerrado de $Xveces X$. Entonces el espacio cociente $X/E$ es normal y Hausdorff.
Prueba.
Sea $X=bigcup_ninomegaX_n$, donde $X_n$ son conjuntos abiertos tales que $overlineX_n$ son compactos y $overlineX_nsubseteq X_n+1$ por cada $n$. Para cada $n$ consideremos el espacio cociente $Y_n=overlineX_n/E_n$, donde $E_n=Ecap(overlineX_ntimesoverlineX_n)$. Dado que $overlineX_n$ es un espacio de Hausdorff compacto, el cociente correspondiente mapeado $q_ncolonoverlineX_nto Y_n$ es cerrado y, por lo tanto, el espacio $Y_n$ es normal.
Sean $A,B$ subconjuntos saturados cerrados disjuntos de $X$. Probamos que existen conjuntos saturados abiertos disjuntos $U,V$ tales que $Asubseteq U$ y $Bsubseteq V$. Para $ninomega$, defina los conjuntos $A_n$, $B_n$, $U_n$, $V_n$ por inducción de la siguiente manera. Comience con $A_0=AcapoverlineX_0$, $B_0=BcapoverlineX_0$. En $n$-ésimo paso, suponga que $A_n$, $B_n$ son subconjuntos cerrados disjuntos de $overlineX_n$ saturados con respecto a $E_n$. Suponga también que $AcapoverlineX_nsubseteq A_n$ y $BcapoverlineX_nsubseteq B_n$. Entonces, por normalidad de $Y_n$, existen subconjuntos disjuntos relativamente abiertos $U_n$, $V_n$ de $overlineX_n$ tales que $A_nsubseteq U_n$, $B_nsubseteq V_n$, $overline U_ncapoverlineV_n=emptyset$, y $U_n$, $V_n$, $overlineU_n$, $overlineV_n$ están saturados con respecto a $E_n$. Tenemos $overlineV_nsubseteqoverlineX_n$, por lo tanto $$AcapoverlineV_nsubseteq AcapoverlineX_ncapoverlineV_nsubseteq A_ncap overlineV_nsubseteq U_ncapoverlineV_n=emptyset,$$ similarmente $BcapoverlineU_n=emptyset$. Como $A,B$ están saturados con respecto a $E$, también tenemos $Acapbig[,overlineV_n,big]=Bcapgrande[,overlineU_n,big]=conjuntovacío$. Tomemos $A_n+1=big(Acupbig[,overlineU_n,big]grande)tapaoverlineX_n+1$, $B_n+1=grande(Btazagrande[,overlineV_n,big]big)capoverlineX_n+1$. Es fácil comprobar que $(AcapoverlineX_n+1)cup U_nsubseteq A_n+1$, $(BcapoverlineX_n+1 )cup V_nsubseteq B_n+1$, y que $A_n+1$, $B_n+1$ son cerrados y saturados con respecto a $E_n$. Dado que $overlineU_n$, $overlineV_n$ son subconjuntos disjuntos de $overlineX_n$ saturados con respecto a $E_n$, sus saturaciones $big[,overlineU_n,big]$, $grande[,overlineV_n,big]$ con respecto a $E$ también son disjuntos, y obtenemos que $A_n+1cap B_n+1=emptyset$. Por lo tanto, podemos proceder con la inducción.
De esta forma podemos definir secuencias crecientes $U_n_ninomega$, $V_n_ninomega$ tales que $U_n$, $V_n$ son relativamente abiertas subconjuntos de $overlineX_n$, $AcapoverlineX_nsubseteq U_n$, $BcapoverlineX_nsubseteq V_n$, $overlineU_ncapoverlineV_n =emptyset$, y $U_n$, $V_n$, $overlineU_n$, $overlineV_n$ están saturados con respecto a $E_n$. Establecer $U=bigcup_ninomegaU_n$, $V=bigcup_ninomegaV_n$. Si $xin U$ entonces existe $n$ tal que $xin U_ncap X_nsubseteq U$, donde $U_ncap X_n$ está abierto, por lo tanto $U$ está abierto. Además, si $xin[U]$ entonces existe $n$ tal que $xinbig[,overlineU_n,big]capoverlineX_n+1$, por lo tanto, $xin U$. Entonces $U$ es un conjunto abierto saturado con respecto a $E$, de manera similar para $V$. Finalmente, $U$ y $V$ son disjuntos ya que si $xin Ucap V$ entonces existe $n$ tal que $xin U_ncap V_n$, lo cual es imposible.
Hemos probado que el espacio cociente $X/E$ es normal. Para ver que también es Hausdorff basta mostrar que todo singleton en $X/E$ es un conjunto cerrado. Esto es claro ya que si $E$ es un subconjunto cerrado de $Xtimes X$ entonces toda clase de equivalencia es cerrada.
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