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Solución:
Desde un punto de vista “visual” no riguroso, no serías capaz de notar la diferencia, al igual que cuando te miras los pies, no puedes decir que la tierra es una esfera. La forma rigurosa de decir esto matemáticamente es que un círculo y una línea son “localmente homeomorfos”.
Dos conjuntos son homeomorfos si existe una biyección continua entre ellos, con un inverso continuo. Si $f:Ato B$ es una biyección continua, y $f^-1:Bto A$ también es continua, entonces $U$ está abierto en $Aiff f(U)$ está abierto en $B$. Esto, a su vez, hace que $f$ conserve básicamente todas las propiedades topológicas de $A$ cuando se asigna a $B$, por lo que decimos que $A$ y $B$ son topológicamente equivalentes u homeomorfos. La línea y el círculo son no homeomorfo Esto es fácil de ver porque la línea se puede desconectar quitando un punto y el círculo no.
Sin embargo, el círculo y la línea son localmente homeomorfos. “localmente” básicamente significa que la propiedad se mantiene en algún vecindario lo suficientemente pequeño de cada punto. Si toma una pequeña vecindad de un punto en un círculo y una pequeña vecindad de un punto en una línea, esos dos conjuntos son homeomorfos. Es por eso que pensamos que la tierra parece un avión, no somos lo suficientemente grandes para ver fuera de algún vecindario en el que la tierra realmente lo hace parecerse a un avión. Si fueras muy alto, serías capaz de ver las curvas de la tierra. Esto correspondería a poder mirar fuera del vecindario $epsilon$ donde la tierra es homeomorfa al plano.
Nota: Esta respuesta es para comparar $mathbbR$ con un círculo de radio finito. La pregunta tal como se planteó no tiene mucho sentido, específicamente la parte sobre el círculo de radio infinito, vea la respuesta de @Kevin Carlson para obtener algunos detalles al respecto.
Estoy ignorando el caso de línea finita porque si estás ubicado en el punto final, obviamente las cosas se estropean porque solo puedes moverte en una dirección. La respuesta para una línea finita en cualquier lugar excepto en un punto final es la misma que la respuesta para $mathbbR$
Mucha gente ha compartido tu intuición de que las líneas parecen círculos infinitos, pero el problema sigue siendo que si un círculo es el conjunto de puntos a una distancia fija de un punto fijo en el plano, entonces no hay círculos infinitos, porque no hay puntos en el plano infinitamente lejos el uno del otro. Entonces su $limRtoinfty$ no converge a nada. Pero aún así, a menudo nos gustaría decir que las líneas y los círculos son obviamente lo mismo.
Una solución general a tal problema es simplemente agregar lo menos posible a nuestra teoría para que sean iguales y ver si hemos arruinado todo en el proceso. Como observa, la única diferencia topológica entre una línea y un círculo es que un círculo es compacto mientras que una línea no lo es (usted dice “cerrado”, pero esa no es una propiedad topológica, aunque funcionaría al discutir la línea y el círculo como colectores.)
De hecho, una línea se convierte en un círculo tan pronto como compactar agregando un solo punto! Entonces, la forma mínima de hacer que las líneas sean círculos “infinitos” parece ser agregar un punto “en el infinito” para compactar cada línea. Esto hace que el plano sea topológicamente una esfera, y luego puede visualizar su proceso límite como un círculo contenido en un hemisferio que se expande hasta que se acerca al ecuador. En este caso resulta que estamos muy lejos de haber arruinado todo, más bien, este es un tema bonito llamado Geometría de Möbius.
Un sentido en el que un segmento de línea y un círculo convergen en la misma línea para $Rtoinfty$ es el siguiente:
Consideraremos un segmento de recta vertical que pasa por el origen.
De manera similar, tomemos el círculo que pasa por $(0,0)$ tal que el centro se encuentra en el eje $x$. (Es decir, el centro será $(R,0)$.) Más precisamente:
- El segmento de línea para algunos $R$ dados es $L_R= \times[-R,R]PS
- El círculo para algún $R$ dado es $C_R=(x,y)inmathbb R^2; (xR)^2+y^2=R^2$.
Entonces por $Rtoinfty$ ambas cosas obviamente convergen al eje $y$. (Tal vez ayude si haces un dibujo).
Si desea reemplazar la palabra obviamente en la última oración por algo más riguroso, puede tomar la convergencia de Kuratowski.
Esto significa que puedes preguntar: ¿Cuál es el conjunto $$L=pinmathbb R^2; lim_Rtoinfty d(p,L_R)=0$$ donde $d(p,A)$ denota la distancia del punto $p$ y el conjunto $A$.
Del mismo modo, puede preguntar acerca de $$C=pinmathbb R^2; lim_Rtoinfty d(p,C_R)=0.$$
Descubrirá que tanto $L$ como $C$ son iguales al eje $y$.
Quizás la siguiente imagen podría ilustrar cómo los círculos se acercan cada vez más a la línea vertical con un radio creciente.
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