Posterior a de esta larga recopilación de información dimos con la respuesta esta escollo que pueden tener algunos usuarios. Te dejamos la solución y deseamos resultarte de mucha ayuda.
Solución:
La impedancia de un condensador viene dada por la fórmula:
$$ Z_C = frac 1 j omega C = frac 1 j 2 pi f C $$
donde $ j = sqrt -1 $. Se necesita un poco de álgebra para obtener el signo negativo:
$$ frac 1 j = frac jj cdot frac 1 j = frac j j ^ 2 = frac j -1 = -j $$
$$ Z_C = frac 1 j cdot frac 1 omega C = frac -j omega C $$
La reactancia es la parte imaginaria de la impedancia, por lo que podría decir que es:
$$ X_C = Im Z_C = – frac 1 omega C $$
Si desea combinar inductores y condensadores en serie en una sola reactancia equivalente, el signo es importante.
Pero lo que realmente representa $ – j $ es un cambio de fase de -90 grados entre el voltaje y la corriente del capacitor (la corriente conduce al voltaje):
(fuente)
Si desea hablar sobre la magnitud y los efectos de cambio de fase de la reactancia por separado, puede eliminar el signo negativo:
$$ Z_C = frac 1 omega C ángulo -90 ^ circ $$ $$ X_C = | Z_C | = frac 1 omega C $$
No diría que ninguno de los dos está equivocado. Son diferentes formas de simplificar para evitar números complejos. Cualquier simplificación será correcta en algunas ocasiones e incorrecta en otras. Necesita números complejos para obtener una imagen completa, pero eso es mucha matemática para un estudiante de primer año de la universidad o para el público en general. Por lo tanto, los libros introductorios a menudo tratan los efectos de magnitud y fase por separado.
Tus citas son buenos ejemplos de esto. El primer libro da la reactancia positiva, pero luego le dice que combine la inductancia y la capacitancia de esta manera:
$$ reactancia resultante = X_L – X_C = 2 pi f L – frac 1 2 pi f C $$
El segundo libro da la fórmula positiva y describe los cambios de fase en el siguiente párrafo. El tercer libro (Electronics for Dummies) es una simplificación deliberada. El cuarto libro describe el cambio de fase en términos de diagramas de fasores en la página siguiente. El quinto libro menciona cambios de fase en el cuadro debajo de la definición, pero dice que el libro omite los inductores por completo. El sexto libro describe los cambios de fase en la página después de la definición.
Creo que matemáticamente no es correcto decir $ j = sqrt -1 $. Es correcto decir $ j ^ 2 = -1 $. Eso es todo lo que necesita en estos cálculos. Razón: tomar una raíz compleja tiene múltiples valores, pero el cuadrado es indudablemente claro. Así que evita echar raíces si puedes hacerlo con cuadratura.
Y sí, ciertamente prefiero considerar la reactancia de un condensador $ C $ ser negativo para expresar la diferencia de fase entre la corriente y el voltaje, en comparación con las mismas cosas en / sobre un inductor.
En mi opinión, es aún mejor distinguir entre la magnitud y el valor de una reactancia: use el símbolo de intercalación para diferenciar entre los dos, como ya hacemos para un voltaje o corriente: $ V $ y $ sombrero V $ y $ i $ y $ que yo $. Es difícil ver estos caracteres especiales en el modo de texto sin formato, pero con este formato especial compatible con las matemáticas se ve realmente bien.
Sugiero que hagamos lo mismo con el $ X $, entonces para un condensador $ C $ definir $ X = – frac 1 omega C $ y $ | X | = sombrero X = frac 1 omega C $ y a partir de ahora, cuando desee abordar la magnitud de la reactancia, utilice $ sombrero X $. Problema resuelto.
Y hablar de reactancia significa que también deberíamos hablar de susceptancia, que no es la inversa de la reactancia sino la parte imaginaria de la admisión.
Ejemplo: si es una “impedancia” compleja $ Z = R + jX $ con real $ R $ = “resistencia” y X real = “reactancia”, entonces el complejo “admitancia” $ W $ definido como $ W = 1 / Z $ se puede escribir de nuevo como $ W = G + jY $ , con real $ G $ = “conductancia” y real $ Y $ = “susceptancia”. Tenga en cuenta que en estas definiciones el $ R, X, G $ y $ Y $ son todos números reales y pueden llevar un signo, incluso $ R $ y $ G $ en general.
Resolver esto da:
$$ begin align W & = frac 1 Z \ & = frac 1 R + jX \ & = frac 1 R + jX cdot frac R-jX R-jX \ & = frac R-jX R ^ 2 + X ^ 2 \ & = frac R (R ^ 2 + X ^ 2) + j cdot frac -X R ^ 2 + X ^ 2 \ & = G + jY end align $$
o la parte imaginaria (la “susceptancia”) de $ W $ es:
$$ Y = – frac X R ^ 2 + X ^ 2 $$
Tenga en cuenta que la susceptancia $ Y $ obviamente tendrá un valor positivo si la reactancia $ X <0 $ .
Un caso especial es el condensador. $ C $ de los cuales la resistencia $ R = 0 Omega $ y rectance $ X = – frac 1 omega C Omega $ . Tenga en cuenta el signo negativo: esto lleva información sobre la diferencia de fase entre el voltaje y la corriente a través del $ C $ .
Completar estos valores da:
$$ Y = – left ( frac – frac 1 omega C 0 ^ 2 + left (- frac 1 omega C right) ^ 2 right ) = frac frac 1 omega C left ( frac 1 omega C right) ^ 2 = omega C $$
que, como era de esperar, es un número positivo: $ Y> 0 $
Tenga en cuenta que para un condensador $ C $ la reactancia $ X = – frac 1 Y $ , dónde $ Y $ = la susceptancia del $ C $ .
Tenga en cuenta también que el cambio de signo significa que la fase también se ha invertido y así es como debería ser: porque en un condensador su voltaje sobre él está 90 grados por detrás de la corriente que lo atraviesa.
Si observa la reactancia (“resistencia CA”) de un condensador) $ frac V_C I_C = Z_C $ Debería obtener un signo negativo que refleje que el voltaje se está retrasando en relación con la corriente y eso hace que la reactancia $ X $ de un condensador $ C $ debe tener un signo negativo.
Mirando a $ frac I_C V_C = Y_C $, estás mirando la corriente en relación con el voltaje y debido a que la corriente está 90 grados por delante del voltaje, la susceptancia (“conductancia de CA”) del capacitor $ Y_C $ debe ser positivo.
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