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Solución:
La respuesta corta es no, pero incluso entonces depende de lo que quieras decir con “la segunda ley de la termodinámica”. En los tratamientos convencionales de la denominada termodinámica de equilibrio, la ley de conducción de calor de Fourier es completamente independiente del resto. En lo que se denomina “termodinámica racional”, donde la segunda ley se formula como la “desigualdad de Clausius-Duhem”, de hecho se convierte en parte de la “segunda ley” y también en una generalización de la misma. De la desigualdad de Clausius-Duhem se puede demostrar que para la conducción de calor en el régimen lineal la conductividad debe ser positiva o si en un cristal anisotrópico un tensor definido positivo. La simetría del tensor se seguiría del llamado principio de reciprocidad de Onsager, pero Truesdell afirma que nunca se ha verificado experimentalmente para todas las clases cristalinas, pero su, CA Truesdell: Rational Thermodynamics, donde se puede leer bastante sobre este tema, es un ” libro antiguo, por lo que tal vez haya resultados experimentales más nuevos al respecto. De hecho, Truesdell utiliza la escasez de experimentos sobre la simetría del tensor de conducción de calor para denunciar el “onagro” como un movimiento cuasirreligioso que nunca ha producido mucho de nada. El mismo formalismo se utiliza para introducir la “termodinámica racional” de la difusión.
Cuando hablamos de conducción de calor debemos usar las leyes de la termomecánica continua, donde cantidades como la temperatura, la energía interna, etc. pueden variar de un lugar a otro.
La segunda ley de la termodinámica para un cuerpo $ B $ cuando el cuerpo está en reposo y la única forma de calentamiento es por contacto (a diferencia del calentamiento a granel, como en un horno de microondas, por ejemplo) se puede escribir de esta manera: $$ frac mathrm d mathrm d t int_B s , mathrm d v geqslant – int _ parcial B frac boldsymbol q T cdot mathrm d boldsymbol a tag * label 2ndlaw $$ donde $ B $ parcial denota la superficie del cuerpo, $ s $ es la entropía por volumen, $ boldsymbol q $ es el calor fueraflujo (energía / tiempo / área), $ mathrm d v $ es el elemento de volumen y $ mathrm d boldsymbol a $ el elemento de área en la superficie, con una normal que apunta hacia afuera. Tenga en cuenta que $ boldsymbol q cdot mathrm d boldsymbol a <0 $ significa que el cuerpo se calienta. La desigualdad anterior es la "desigualdad de Clausius-Duhem" mencionada en la respuesta de hyportnex.
Si la temperatura siempre se mantiene uniforme en todo el cuerpo, la desigualdad anterior se reduce a $ mathrm d S / mathrm d t geqslant Q / T $, típico de procesos uniformes, donde $ S $ es la entropía total de el cuerpo y $ Q = – int _ parcial B boldsymbol q cdot mathrm d boldsymbol a $ el calentamiento total (energía / tiempo) del cuerpo a través de su superficie.
Podemos reescribir la desigualdad $ eqref 2ndlaw $, que también es válida para cualquier parte del cuerpo, en forma local usando el teorema de Gauss: $$ frac partial s partial t geqslant – nabla cdot frac boldsymbol q T equiv – frac 1 T nabla cdot boldsymbol q + frac 1 T ^ 2 boldsymbol q cdot nabla T tag ** label 2ndlawloc $$ (nuevamente, esta es una forma especial válida cuando el cuerpo está en reposo y la única forma de calentamiento es por contacto).
En condiciones de estado estacionario, la entropía y la energía interna no cambian con el tiempo, por lo que el término del lado izquierdo y el primer término del lado derecho (que según la primera ley equivale al aumento de la energía interna dividido por $ T $) desaparecer. Considerando que la temperatura absoluta es positiva, nos queda $$ boldsymbol q cdot nabla T leqslant 0, tag *** label heatcond $$ que dice que el flujo de calor debe formar un ángulo obtuso con el gradiente de temperatura – en otras palabras, “el calor fluye de caliente a frío”, que supongo que es a lo que la pregunta se refiere como “la ley de conducción”. Entonces: sí, esta ley se puede derivar de la segunda y primera leyes para continuos, bajo una condición de estado estacionario en un cuerpo rígido al menos, por ejemplo, en una barra de hierro que se ha calentado en un extremo y se ha enfriado en el otro en una tasa constante durante algún tiempo.
Pero en situaciones más generales, la desigualdad $ eqref heatcond $ no necesita mantenerse.
Que no es necesario que se cumpla en general se desprende de la forma local $ eqref 2ndlawloc $. Por ejemplo, permítanme citar de Astarita (1990), § 7.1:
la segunda ley se reduce al requisito de la ecuación $ eqref heatcond $ solo para fenómenos de estado estacionario. En otras palabras, para los fenómenos de estado inestable, la segunda ley no prohíbe que el calor fluya en la dirección de aumento de la temperatura, aunque solo sea por breves intervalos de tiempo.
Continúa en el § 7.5:
Incluso si la forma isotrópica de la ley de Fourier se ha establecido experimentalmente para condiciones de estado estacionario, no es necesario que se mantenga también en condiciones de estado inestable. De hecho, considere la siguiente ecuación constitutiva para el flujo de calor […]
$$ boldsymbol q + theta frac partial boldsymbol q partial t = -k nabla T tag 7.5.3 label astarita $$ con $ theta $, el tiempo de relajación para el flujo de calor, una constante positiva. Se garantiza que esta ecuación entregará un vector de flujo de calor que, en estado estacionario, forma un ángulo obtuso con el vector de gradiente de temperatura, y su validez (o falta de ella) no se puede determinar mediante experimentos en estado estacionario.En estado inestable, la ecuación $ eqref astarita $ permite que el vector de flujo de calor forme un ángulo agudo con $ nabla T $, como muestra el siguiente ejemplo simple. Suponga que $ nabla T $ se ha mantenido constante en algún valor y, en consecuencia, el flujo de calor forma un ángulo obtuso con él. En algún momento $ t = 0 $, el gradiente de temperatura se invierte repentinamente. El flujo de calor también se invertirá en una escala de tiempo de orden $ theta $, pero a $ t $ mayor que $ 0 $ en una cantidad insignificante en comparación con $ theta $, seguirá teniendo la dirección que tenía en momentos negativos. y por tanto formará un ángulo agudo con $ nabla T $.
Sin embargo, esto no contradice la segunda ley, ya que la ecuación $ eqref heatcond $ requiere que el flujo de calor forme un ángulo obtuso con $ nabla T $ solo en estado estable. Si se permite un tiempo de relajación finito $ theta $, las relaciones habituales de Maxwell no se mantienen en un estado inestable y, por lo tanto, los otros términos que aparecen en la ecuación $ eqref 2ndlawloc $ bien pueden compensar un valor positivo del último término en el lado izquierdo.
De hecho, algunos resultados experimentales sobre la velocidad de cristalización en polímeros sugieren que se necesita una ecuación constitutiva para el flujo de calor del tipo de ecuación $ eqref astarita $ para modelar los datos.
Lo que dice Astarita también implica que la ley de conducción de Fourier, $ boldsymbol q = -k (V, T) nabla T $, no puede derivarse únicamente de la segunda ley: es un ecuación constitutiva, es decir, una ecuación que especifica las propiedades de conducción de calor de cuerpos particulares únicamente. Otros cuerpos pueden satisfacer diferentes leyes (cf. $ eqref astarita $ de Astarita). La ley de Fourier $ boldsymbol q = -k (V, T) nabla T $ puede derivarse suponiendo, además de la segunda ley, también una dependencia de las propiedades del fluido en variables particulares y una forma de linealidad; véanse, por ejemplo, Samohýl & Pekař (2014), §§ 3.5–7, y las referencias allí.
Para conocer la historia y otros comentarios sobre la segunda ley de los continuos $ eqref 2ndlaw $, véase Truesdell (1984).
Referencias
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Astarita, G (2000): Termodinámica: un libro de texto avanzado para ingenieros químicos (Saltador).
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Samohýl, I., Pekař, M. (2014): La termodinámica de fluidos lineales y mezclas de fluidos (2ª ed., Springer).
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Truesdell, CA, editor (1984): Termodinámica racional (2ª ed., Springer).
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