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Solución:
La función de Dirichlet $f$ no es continua en ninguna parte. Por cada número irracional $x$, existe una sucesión de números racionales $r_n$ que converge a él. Tenemos: $$ lim_ntoinfty f(r_n) = 1 ne 0 = f(x) $$
Por lo tanto, $f$ no es continuo en números irracionales. Los números racionales se pueden manejar de manera similar.
La función de Dirichlet no es continua en ninguna parte, ya que los números irracionales y los números racionales son densos en cada intervalo $[a,b]ps En cada intervalo el supremo de $f$ es $1$ y el mínimo es $0$ por lo tanto no es Riemann integrable.
Hay dos definiciones diferentes de la función de Dirichlet:
$$ D(x) = begincasos1:& xinmathbb Q \ 0:&xinmathbb Rsetminusmathbb Qendcasos$$
que obviamente no es continuo en ninguna parte. Y luego está la versión “reducida”, también conocida como función de Thomae.
$$ D(x) = begincases frac1b:& x=fracabinmathbb Q quadtextes una fracción reducida \ 0 :&xinmathbb Rsetminusmathbb Qendcasos$$
que resulta ser continua en los irracionales, ya que cualquier aproximación de un número irracional por racionales obliga al denominador a hacerse grande. Se puede demostrar que el primero no es integrable de Riemann mientras que el segundo sí lo es y su integral se anula.
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