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Solución:
Desafortunadamente, la respuesta es no en general, aunque la afirmación se mantendrá. true para matrices diagonalizables. No todas las matrices son diagonalizables, incluida la matriz que proporcionó en su ejemplo. Si su matriz es $n veces n$entonces la diagonalizabilidad es equivalente a tener un conjunto de $n$ vectores propios linealmente independientes, y aquellos vectores propios correspondientes a valores propios distintos de cero formarán una base para el rango de la matriz; por tanto, se obtiene el rango (incluidas las multiplicidades).
Sin embargo, si miras $A^TA$entonces puedes usar los valores propios de que matriz para obtener el rango, independientemente de lo que $A$ es. Esto es porque $A^TA$ es simétrico, y por lo tanto debe ser diagonalizable, y además se puede demostrar que $mathrmrango(A^TA) = mathrmrango(A)$.
rango de una matriz = número de valores propios distintos de cero
no es truecomo has sido testigo.
Considere eso $A^3=0$Así que si $A$ tiene un valor propio $lambda$ y $vneq0$ es un vector propio correspondiente, entonces
$$ 0=A^3v=lambda^3v $$
sentido $lambda^3=0$asi que $lambda$ debe ser $0$.
El rango es, sin embargo, igual a la dimensión de la imagen. Es decir, el tamaño del mayor conjunto posible de vectores linealmente independientes de la forma $promedio$.
También se da el caso de que la nilpotencia (o más específicamente el hecho de que la imagen pueda contener elementos del núcleo) es en cierto sentido la lo unico eso puede salir mal con su declaración.
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