Nuestro grupo especializado despúes de algunos días de investigación y de recopilar de información, obtuvimos la respuesta, esperamos que te resulte útil en tu plan.
Solución:
La norma del operador de una matriz positiva puede ser mayor que el radio espectral. por ejemplo, cuando $A=uv^T$ para algunos dos vectores positivos no paralelos $u$ y $v$, tenemos
$$ |A|_2=|u|_2|v|_2>v^Tu=rho(A). $$
Sabemos algunas cosas sobre la relación entre $|A|_2$ y $rho(A)$:
- Para cualquier matriz cuadrada compleja $A$, tenemos $rho(A)le|A|_2$. De hecho, $rho(A)$ es el mínimo de todas las normas de matrices submultiplicativas de $A$. Esto generalmente se demuestra junto con la fórmula de Gelfand.
- Una matriz cuadrada compleja $A$ se ha dicho radial Cuándo $rho(A)=|A|_2$. Existe una caracterización completa de las matrices radiales.
- Si $A$ es estocástico columna/fila, entonces $rho(A)=|A|_2$ si y solo si $A$ es doblemente estocástico. (Consulte Caracterizar matrices estocásticas de modo que el valor singular máximo sea menor o igual a uno). Lo mismo ocurre con los múltiplos escalares de matrices estocásticas.
- En general, para cualquier matriz cuadrada compleja $A$, todos sus valores propios de módulos máximos son semisimples si y solo si $rho(A)=|A|$ para alguna norma de matriz submultiplicativa $|cdot|$. (Vea aquí una prueba). En su caso, aunque no es necesariamente true ese $A$ es radial, ya que $rho(A)$ es un valor propio simple dominante, sabemos que $rho(A)=|A|$ por algunos norma matricial.
Algunos comentarios sobre la situación general:
El radio espectral no es una norma en el espacio de todas las matrices $n times n$, para $n>1$. Esto se debe a que existen matrices distintas de cero con radio espectral cero, por ejemplo
$$beginbmatrix 0 & 1 \ 0 & 0 endbmatrix.$$
Sin embargo, dada una matriz $A$ con radio espectral $rho(A)$, para cada $varepsilon > 0$ existe un operador norma $| cdot |$ tal que $| un | leq rho(A) + varepsilon$.
Al mismo tiempo, si una matriz es autoadjunta con respecto a un producto interno, entonces su operador norma con respecto a este producto interno y su radio espectral se corresponden.
En vista de los comentarios anteriores, para encontrar una matriz positiva cuya norma euclidiana del operador sea mayor que su radio espectral, debe buscar algo que sea muy asimétrico, como
$$beginbmatrix 1 & 1 \ varepsilon & 1 endbmatrix$$
donde $0 Recuerda que puedes dar recomendación a este enunciado si lograste el éxito. valoraciones y comentarios