Marisol, miembro de nuestro equipo, nos hizo el favor de escribir este post porque controla muy bien el tema.
Solución:
$1,1,1,2,2$
Su promedio es $frac75$.
Pero si lo tomas como $1,1,1$ y $2,2$, y promedias los promedios, obtienes un resultado diferente.
Pero, lo que dijiste funciona si el número de números es una potencia de $2$ y los divides en dos conjuntos de igual tamaño. Curiosamente, esta observación fue utilizada por Cauchy para dar una prueba inductiva de la desigualdad $textAM ge textGM$.
La respuesta correcta es que depende. El promedio de promedios solo es igual al promedio de todos los valores en dos casos:
- si el número de elementos de todos los grupos es el mismo; o
- el caso trivial cuando todos los promedios del grupo son cero
Como se insinuó en los comentarios, su prueba no es suficiente para responder la pregunta, ya que sus cálculos solo prueban un caso particular en el que los conjuntos tienen el mismo tamaño (por lo tanto, llega a la respuesta incorrecta). Necesitas generalizar tus matemáticas para tener en cuenta todos los casos. A continuación se muestra mi intento de hacerlo.
Considere dos conjuntos $X = x_1, x_2, …, x_n$ y $Y = y_1, y_2, …, y_m$ y sus promedios:
$$ barx = fracsum_i=1^nx_in ,,, bary = fracsum_i=1 ^my_im $$
La media de las medias es:
$$ promedio(barx, bary) = fracfracsum_i=1^nx_in + fracsum_i= 1^my_im2 = fracsum_i=1^nx_i2n + fracsum_i=1 ^my_i2m $$
Ahora considere todo el grupo $Z = x_1, x_2, …, x_n, y_1, y_2, …, y_m$ y su promedio:
$$ barz = fracsum_i=1^nx_i + sum_i=1^my_in + m$$
Para el caso general, podemos ver que estos promedios son diferentes:
$$ fracsum_i=1^nx_i2n + fracsum_i=1^my_i2m ne frac sum_i=1^nx_i + sum_i=1^my_in + m $$
Esto es por qué el promedio de promedios suele dar el equivocado responder.
Sin embargo, si hacemos $n = m$, tenemos:
$$ fracsum_i=1^nx_i2n + fracsum_i=1^my_i2n = frac suma_i=1^nx_i + sum_i=1^ny_i2n $$
Esto es por qué la media de medias es igual a la media de todo el grupo cuando los grupos tienen el mismo tamaño.
El segundo caso es trivial: $barx = bary = promedio(barx, bary) = 0$.
Tenga en cuenta que el razonamiento anterior se puede extender a cualquier número de grupos.
Vea también las respuestas a esta pregunta similar: ¿Por qué un promedio de un promedio suele ser incorrecto?