Solución:
El Borel $ sigma $ -álgebra del producto contable de segundos espacios topológicos contables es el producto de Borel $ sigma $ -algebras. Siempre es cierto que el Borel $ sigma $ -álgebra del espacio de productos topológicos es al menos tan grande como el producto de $ sigma $ -álgebras. Se pueden encontrar pruebas de esto, por ejemplo, en el libro de Kallenberg.
El Borel $ sigma $ -álgebra del producto incontable de espacios de Hasudorff no triviales (al menos dos puntos) es siempre más grande que el producto de $ sigma $ -álgebras. Para ver esto, tenga en cuenta que todos los puntos están cerrados en la topología del producto y, por lo tanto, un conjunto Borel. Pero mediante la construcción del producto $ sigma $ -algebra, un conjunto sólo puede depender de un número numerable de coordenadas. Más precisamente, hay un resultado general de que si $ A in sigma ( mathcal {F}) $ entonces hay una familia contable $ mathcal {C} subseteq mathcal {F} $ tal que $ A in mathcal {C} $. Para probar esto, simplemente verifique que los conjuntos generados por una subfamilia contable de $ mathcal {F} $ le den un $ sigma $ -algebra que contenga $ mathcal {F} $. En particular, cada conjunto en el producto $ sigma $ -algebra es generado por innumerables rectángulos mensurables.
Se afirma (con una prueba breve) en las medidas de Convergencia de Probabilidad de Billingsley (segunda edición) en la página 244, que esto es válido si los espacios subyacentes son separables. (Solo considera el producto de dos espacios).