Solución:
No, el adyuvante de una matriz singular pueden ser no singular. Pero sucede solo para el $ 1 veces 1 $ matriz cero.
Aquí hay una clasificación completa, refiriéndose a esta respuesta y a esta. Uno siempre tiene $$ def adj { operatorname {adj}} A cdot adj (A) = det (A) I_n. $$
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Si $ A $ tiene rango$ ~ n $, entonces es invertible, y también lo es $ det (A) $, y $ adj (A) = det (A) A ^ {- 1} $ también es invertible y tiene rango$ ~ n $.
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Si $ A $ tiene rango$ ~ n-1 $ entonces al menos uno $ (n-1) veces (n-1) $ menor es distinto de cero, por lo que $ adj (A) neq0 $. Por otro lado, por la relación dada, la imagen de $ adj (A) $ está contenido en el núcleo de $ A $ que tiene dimensión$ ~ 1 $ por rango-nulidad; resulta que $ adj (A) $ tiene rango$ ~ 1 $ en este caso.
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Si $ A $ tiene rangoPS entonces todo $ (n-1) veces (n-1) $ los menores son iguales a cero, por lo que $ adj (A) $ tiene rango$ ~ 0 $.
Los casos donde $ adj (A) $ tiene rango$ ~ n $ son el primer caso para cualquier$ ~ n $, y el segundo caso para $ n = 1 $. (Y, me inclinaría a decir, el último caso para $ n = 0 $; pero eso, por supuesto, no puede suceder en absoluto.) Así que el único caso en el que $ A $ es singular pero $ adj (A) $ no es, es el caso $ A = (0) $ (con $ n = 1 $).
Insinuación : $$ A cdot mbox {adj} (A) = det (A) I $$
Si $ det (A) = 0 $, obtenemos $ A cdot mbox {adj} (A) = 0 $. Poder $ mbox {adj} (A) $ ser invertible?
Para el rango, si está familiarizado con las transformaciones lineales, demuestre que la relación anterior implica que la imagen de la transformación definida por $ A $ debe estar en el kernel de la transformación definida por $ mbox {adj} (A) $. Esto produce una desigualdad de rangos.