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¿Es cada grupo finito el grupo de automorfismo externo de un grupo finito?

Nuestro team redactor ha estado horas investigando para darle respuesta a tus preguntas, te brindamos la solución y deseamos serte de gran apoyo.

Solución:

Si.

Para cada grupo finito $ Q $ Construiré un grupo finito $ H $ con $ mathrm Fuera (H) simeq Q $, es más $ H $ se construirá como un producto semidirecto $ D lveces P $, con $ P $ a $ p $-grupo de exponente $ p $ y clase de nilpotencia PS, (con prima $ p $ elegido arbitrario $> | Q | + 1 $) y $ D $ abeliano de orden coprime a $ p $ (Realmente $ D $ siendo una potencia de un grupo cíclico de orden $ p-1 $).


Usaré álgebras de Lie que son herramientas convenientes para codificar $ p $-grupos cuando $ p $ es menor que la clase de nilpotencia, aprovechando el álgebra lineal.

En álgebras de Lie, denotamos PS[x_1,dots,x_m]=[x_1,[x_2,dots,[x_m-1,x_m] cdots]$. También elijo la convención para permitir que las permutaciones actúen a la izquierda.

El campo base es $ K = mathbf F _p $, $ p $ principal. Reparar $ n ge 1 $. Dejar $ mathfrak f _n $ ser la mentira libre $ K $-álgebra en generadores $ (e_1, puntos, e_n) $. Admite una calificación única en $ mathbf Z ^ n $ tal que $ e_i $ tiene grado $ E_i $, dónde $ (E_i) $ es la base canónica de $ mathbf Z ^ n $, se llama clasificación múltiple. Por ejemplo, PS[e_3,[e_1,e_3]PS tiene varios grados $ (1,0,2,0, puntos, 0) $.

Dejar $ I $ ser un ideal multigrado codimensional finito contenido en PS[mathfrakf_n,mathfrakf_n]PS: entonces el cociente $ mathfrak g = mathfrak f _n / I $ es naturalmente multigrado. Hay una acción natural de $ K ^ * ^ n $ sobre $ mathfrak g $: a saber $ (t_1, puntos, t_n) $ actúa sobre $ mathfrak g _ (m_1, puntos, m_n) $ por multiplicación por $ prod_ i = 1 ^ n t_i ^ m_i $. Dejar $ D subconjunto mathrm Aut ( mathfrak g) $ sé la imagen de esta acción. También denotar por $ c $ la clase de nilpotencia de $ mathfrak g $: asumimos $ p> c $.

Usando eso $ p> c $, dotamos, à la Malcev – Lazard, $ mathfrak g $ con la ley de grupo dada por la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff: $ xy = x + y + frac12[x,y]+ puntos $. Así vemos $ mathfrak g $ como álgebra de Lie y como grupo; lo denotamos como $ G $ cuando está dotado de la ley de grupo (pero siéntase libre de consultar la ley del álgebra de Lie en $ G $); esto es un $ p $-grupo de exponente $ p $ y clase de nilpotencia $ c. Definir $ H = D lveces G $.

Cada permutación $ sigma en mathfrak S _n $ induce un automorfismo $ u_ sigma $ de $ mathfrak f _n $, definido por $ u_ sigma (e_i) = e _ sigma (i) $. Escribir $ Gamma_I = Gamma _ mathfrak g = sigma in mathfrak S _n: u_ sigma (I) = I $.

Proposición 1. El mapa natural $ Gamma_ mathfrak g to mathrm Fuera (H) $ es un isomorfismo.

Necesitamos un lema:

Lema 2. Definir $ M $ como $ mathbf F _p ^ * ltimes mathbf F _p $. Luego $ mathrm Fuera (M ^ n) $ se reduce al grupo simétrico que permuta el $ n $ factores.

Prueba. Dejar $ f $ ser un automorfismo. Este es un producto de $ n $ grupos abelianos libres de centro directamente indecomponibles, por lo que su grupo de automorfismo permuta el $ n $ factores (isomorfos). Por tanto, después de componer con una permutación, podemos suponer que $ f $ conserva cada factor. Entonces nos reducimos a comprobar que cada automorfismo de $ mathbf F _p ^ * ltimes mathbf F _p $ es interior. De hecho, después de componer por un automorfismo interno, podemos suponer que mapea el subgrupo Hall $ mathbf F _p ^ * $ en sí mismo. Luego, después de componer con un automorfismo interno, también podemos suponer que actúa como identidad en $ mathbf F _p $. Se sigue fácilmente que esta es la identidad. (Nota para la concisión, utilicé algunos resultados un poco sofisticados en esta prueba, pero este lema se puede verificar de manera más elemental). $ Caja $

Prueba de la propuesta.
Después de componer con un automorfismo interno, podemos suponer que $ f $ mapea el subgrupo Hall $ D $ en sí mismo.

Próximo, $ f $ induce un automorfismo de $ H /[G,G]PS, que naturalmente se puede identificar con $ M ^ n $ del lema anterior (recuerde que $ I subconjunto [G,G]=[mathfrakg,mathfrakg]PS. Por lo tanto, después de componer con conjugación por algún elemento de $ D $, podemos suponer que $ f $ ambas conservas $ D $ y actúa sobre $ H /[G,G] simeq M ^ n $ permutando los factores (sin cambiar las coordenadas). Por eso $ f $ actúa como la identidad en $ D $, y $ f (e_i) = e _ sigma (i) + w_i $ para todos $ i $, con $ w_i in [G,G]PS ($ + $ es la suma del álgebra de Lie). Ahora para $ d en D $, tenemos $ f (d) = d $, asi que $ f (de_id ^ - 1) = df (e_i) d ^ - 1 $. Escoger $ d $ como la acción de $ (t, puntos, t) $. Entonces esto da $ t (e _ sigma (i) + w_i) = te _ sigma (t) + df (w_i) d ^ - 1 $. Por eso $ w_i $ es un vector propio para el valor propio $ t $ en PS[mathfrakg,mathfrakg]PS, en la que $ d $ tiene los valores propios $ (t ^ 2, t ^ 3, puntos, t ^ c) $. Elegir $ t $ de orden $ p-1 $, vemos eso $ t $ no es un valor propio, y por lo tanto $ w_i = 0 $. De ahí hasta los automorfismos internos, todo automorfismo de $ H $ es inducida por permutación de la $ n $ coordenadas. Necesariamente tal permutación tiene que estar en $ Gamma_ mathfrak g $. $ Caja $.

Para concluir tenemos que demostrar:

Proposición 3. Para cada grupo finito $ Q $ de orden $ n $ y cebar $ p> n + 1 $ allí existe $ n, p $ y $ I $ ideal finito-codimensional multigrado en $ mathfrak f _n (= mathfrak f _n ( mathbf F _p) $, tal que $ Gamma_I simeq Q $. (Y tal que $ mathfrak f _n / I $ tiene clase de nilpotencia $ le n + 1 $.)

Esto comienza con lo siguiente, que proporciona para cada grupo finito $ Q $ una relación cuyo grupo de automorfismo es el grupo $ L_Q subconjunto mathfrak S (Q) $ de traducciones a la izquierda de $ Q $.

Lema 4. Dejar $ Q $ ser un grupo $ n = | Q | $, y $ q = (q_1, puntos, q_n) $ un inyectivo $ n $-tupla de $ Q $. Definir $ X = Qq subconjunto Q ^ n $. Luego $ L_Q = sigma in mathfrak S (Q): sigma X = X $.

Prueba. Claramente $ L_Q $ conservas $ X $. Por el contrario, si $ sigma $ conservas $ X $, después de componer con una traducción a la izquierda podemos suponer que $ sigma (q_1) = q_1 $, asi que $ sigma (q) in q_1 veces Q ^ n-1 $; ya que $ X cap q_1 veces Q ^ n-1 = q $, deducimos $ sigma (q) = q $, que a su vez implica $ sigma = mathrm Id $. $ Caja $.

Prueba de la propuesta.
Escribir $ mathfrak f _Q simeq mathfrak f _n $ como el álgebra de mentira libre sobre la familia generadora $ (e_q) _ q in Q $. Puede verse como calificado en $ mathbf Z ^ G $, con base $ (E_q) _ q in Q $. Escribir $ E = sum_q E_q $.

Para $ q en Q ^ n $, definir $ xi_q =[e_q_n,e_q_1,e_q_2,dots,e_q_n]PS (nótese que es homogéneo de grado $ E + E_ q_n $; en particular $ ( xi_h) _ h en X $ es linealmente independiente. Arreglar un inyectivo $ n $-tupla $ q $ y definir $ X $ como en la prueba del lema; por conveniencia supongamos $ q_n = 1 $. Definir $ J $ como el $ n $-subespacio dimensional de $ mathfrak f _Q $ con base $ ( xi_h) _ h en X $.

Definir $ I = J oplus mathfrak f _Q ^ n + 2 $, dónde $ mathfrak f _Q ^ i $ es el $ i $-ésimo término de la serie central inferior. Por eso $ I $ es un ideal, y $ mathfrak g = mathfrak f _Q / I $ se define por matar a todos $ i $-conmutadores plegables para $ i ge n + 1 $ y cierto particular $ (n + 1) $-conmutadores plegables. (Dado que asumimos $ p> n + 1 $, podemos verlo como un grupo como anteriormente).

Afirmar. Para $ h = (h_1, puntos, h_n) en Q ^ n $ con $ h_ n-1 neq h_n $, tenemos $ xi_h en I $ si y solo si $ h en X $.

Por definición, $ h en X $ implica la condición. Ahora suponga que $ h $ satisface la condición. Primero, la condición $ h_ n-1 neq h_n $ asegura que $ xi_h neq 0 $; es homogéneo en la clasificación múltiple. Si pertenece a $ J $, su grado múltiple es, por lo tanto, una permuta de $ (2,1, puntos, 1) $. Este es el caso si y solo si el $ h_i $ son por pares distintos, por lo que ahora lo asumimos; su grado es, por tanto, igual a $ E_ h_n + E $. Ahora $ J_ E + E_ h_n $ es unidimensional y generado por $ xi_ h_nq $. Por eso $ xi_h $ es un múltiplo escalar de $ xi_ h_nq $:
$$[e_h_n,e_h_1,dots,e_h_n-1,e_h_n]= lambda
[e_h_n,e_h_nq_1,dots,e_h_nq_n-1,e_h_n]. $$

El siguiente lema implica que $ h_i = h_nq_i $ para todos $ i en 1, puntos, n-1 $. Entonces $ h en X $. La afirmación está probada.

La afirmación implica que para cada permutación $ sigma $ de $ Q $, si el automorfismo $ u_ sigma $ de $ mathfrak f _Q $ conservas $ I $, luego $ sigma $ tiene que preservar $ X $, y por lo tanto (Lema 4) $ sigma $ es una traducción a la izquierda de $ Q $. Esto termina la prueba. $ Caja $.

Lema 5
Considere el álgebra de mentira libre en $ (e_1, puntos, e_n) $. Si por alguna permutación $ sigma $ de $ 1, puntos, n-1 $ y escalar $ lambda $ tenemos
$$[e_n,e_1,dots,e_n-1,e_n]= lambda [e_n,e_sigma(1),dots,e_sigma(n-1),e_n], $$
luego $ sigma $ es la identidad y $ lambda = 1 $.

Prueba. Usa la representación $ f $ en $ mathfrak gl _n $ cartografía $ e_i $ a la matriz elemental $ mathcal E _ i-1, i $ (considere los índices módulo $ n $). Luego
PS[e_n,e_1,dots,e_n-1,e_n]=[e_n,e_1,[e_2,dots,e_n]PS mapas a $$[mathcalE_n-1,n,mathcalE_n,1,mathcalE_1,n]=[mathcalE_n-1,n,mathcalE_n,n-,mathcalE_1,1]= mathcal E _ n-1, n. $$
Dejemos por contradicción $ j $ ser máximo de tal manera que $ sigma (j) neq j $; tenga en cuenta que $ 2 le j le n-1 $ y $ n ge 3 $. Luego PS[e_n,e_sigma(1),dots,e_sigma(n-1),e_n]=[e_n,e_sigma(1),dots,e_sigma(j),[e_j+1,dots,e_n]PS mapas a
$$ w =[mathcalE_n,n-1,mathcalE_sigma(1)-1,sigma(1),dots,mathcalE_sigma(j)-1,sigma(j),mathcalE_j,n], $$
que no puede ser cero. Por eso PS[mathcalE_sigma(j)-1,sigma(j),mathcalE_j,n] neq 0 $. Ya que $ sigma (j), esto implica $ sigma (j) -1 = n $ (módulo $ n $), es decir, $ sigma (j) = 1 $. Entonces
$$ w = -[mathcalE_n,n-1,mathcalE_sigma(1)-1,sigma(1),dots,mathcalE_sigma(j-1)-1,sigma(j-1),mathcalE_j,1]. $$
Sucesivamente, PS[mathcalE_sigma(j-1)-1,sigma(j-1),mathcalE_j,1]PS, usando eso $ sigma (j-1) neq 1 $, implica $ sigma (j-1) = j $y así sucesivamente, deducimos que $ sigma $ es el ciclo $ j mapsto j + 1 $ (módulo $ n-1 $). Eventualmente obtenemos
$$ w =[mathcalE_n-1,1,mathcalE_1,2,mathcalE_2,1]= mathcal E _ n-1,1. $$
Entonces $ mathcal E _ n-1, n = lambda mathcal E _ n-1,1 $, contradicción.

(Nota sobre el Lema 5: uno tiene PS[e_1,e_2,e_1,e_2]=[e_2,e_1,e_1,e_2]PS, pero esto y sus obvias consecuencias son probablemente las únicas identidades entre los monomios de Lie en el álgebra de Lie libre, más allá de las obtenidas a partir de la simetría sesgada en las dos últimas variables).

Nota sobre el resultado: el grupo resultante $ H $ aproximadamente tiene tamaño $ | Q | ^ Q $, que probablemente no sea óptimo.

En la Proposición 4, $ I $ está estrictamente contenido en $ mathfrak f _Q ^ n + 1 $, Tan pronto como $ | Q | ge 3 $, entonces la clase de nilpotencia de $ G $ es entonces igual a $ n + 1 $. (Para $ | Q | = 1 $, eligiendo $ p ge 3 $ salidas $ H $ como el grupo $ M = M_p $ que tiene una salida trivial, y $ G $ es abeliano entonces; por $ | Q | = 2 $, esto genera un grupo $ H $ de orden $ (p-1) ^ 2.p ^ 3 $ para primo elegido $ p ge 5 $, y $ G $ tiene una longitud de nilpotencia $ 2 $. Para $ | Q | = 3 $ da salida a un grupo $ H $ de orden $ (p-1) ^ 3.p ^ 29 $ por $ p ge 5 $ que ya es bastante grande.) Para mejorar los límites en casos explícitos mediante la ejecución de este método, se debe describir $ Q $ un grupo de permutación de un conjunto $ Y $ que puede describirse como estabilizador de algunos $ ell $-relación $ R $ contenido en el conjunto de pares distintos $ ell $-tuplas de $ Y $, por $ ell $ tan pequeño como sea posible.

En [Bryant, R. M.; Kovács, L. G., Lie representations and groups of prime power order.
J. London Math. Soc. (2) 17 (1978), no. 415-421], los autores se acercan a demostrar lo que preguntas: muestran que cualquier grupo $ G , con $ V $ un abeliano elemental $ p $-grupo, se puede realizar como la imagen de $ Aut (P) flecha derecha Aut (P / Phi (P)) = GL (V) $, para algunos finitos $ p $--grupo $ P $ con cociente de Frattini $ P / Phi (P) = V $.

Usé esto en un artículo con Frank Adams a fines de la década de 1980, y también hacemos referencia al Teorema 13.5 de Huppert y Blackburn, Grupos finitos II. La sección 13 de ese libro trata sobre automorfismos de $ p $--grupos. Mi recuerdo (30 años) es que allí se demostró exactamente el resultado que le interesa. (Esto no está disponible en línea, por lo que no puedo verificarlo fácilmente en este momento).

Agregado un poco más tarde: Quizás debería haber señalado explícitamente que el mapa $ Aut (P) rightarrow Aut (P / Phi (P)) $ factores a través de $ Aut (P) flecha derecha hacia fuera (P) $. Además, el núcleo de este mapa es un $ p $--grupo: ver p. ej. [ (24.1), Aschbacher, Finite Group Theory ]. Entonces uno sabe que, para cualquier prima $ p $, cualquier grupo finito es el cociente de $ Fuera (P) $ para algunos finitos $ p $--grupo $ P $, con otro $ p $--grupo como kernel.

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