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Solución:
Ok, comencemos desde cero. Una función $ g: mathbb R ^ n to mathbb R $ con $ f en C ^ 2 ( mathbb R ^ n) $ se dice que es convexo si su matriz hessiana (es decir, la que tiene coeficientes $ parcial ^ 2 f / parcial x_i parcial x_j $) está en todas partes (estrictamente) definida positivamente.
Deje que $ Omega subset mathbb R times mathbb R ^ n $ sea un conjunto abierto y se centre en un $ C ^ 2 $ conjunto Lagrangiano función $ Omega times mathbb R ^ n ni (t, q, dot q) mapsto L (t, q, dot q) in mathbb R $.
Para $ (t, q) in Omega $ fijos, se supone que $ L $ es convexo en función de $ dot q $. En otras palabras $ mathbb R ^ n ni dot q mapsto L (t, q, dot q) in mathbb R $ se supone que es convexo.
Con referencia a sistemas hechos de puntos de materia o de cuerpos sólidos, la convexidad surge de la estructura de la parte de energía cinética de los lagrangianos, que siempre tienen la forma $ T (t, q, dot q) – V (t, q) $, incluso considerando potenciales generalizados $ V (t, q, dot q) $ con lineal dependencia de $ dot q $, como es el caso de fuerzas inerciales o electromagnéticas o fuerzas inerciales también en presencia de restricciones ideales holonómicas.
La asociada Hamiltoniano La función se define como la Transformación de Legendre de $ L $ con respecto a las variables $ dot q $. En otras palabras:
$$ H (t, q, p): = max _ dot q in mathbb R ^ n left[pcdot dotq – L(t, q, dotq)right] qquad (1) $$
Dentro de nuestras hipótesis sobre $ L $, de la teoría general de la transformación de Legendre surge que, para $ fijo (t, q) in Omega $, un $ p in mathbb R ^ n $ dado está asociado con exactamente un $ dot q (p) _ t, q in mathbb R ^ n $ donde el máximo del RHS en (1 ) (para $ n = 1 $ la prueba es bastante evidente, no lo es para $ n> 1 $).
Como $ dot q (p) _ t, q $ trivialmente pertenece al interior del dominio de la función $ mathbb R ^ n ni dot q mapsto p cdot dot q – L (t, q, dot q) $, debe ser:
$$ left. nabla _ dot q right | _ dot q = dot q (p) _ t, q left (p cdot dot q – L (t, q, dot q) right) = 0 :. $$ En otras palabras (siempre para $ t, q $ fijos): $$ p = left. Nabla _ dot q right | _ dot q (p) _ t, q L (t, q, dot q) :, quad forall dot q in mathbb R ^ n qquad (2) $$
Como consecuencia, (siempre para $ (t, q) in Omega $ fijos) el mapa $ mathbb R ^ n ni p mapsto dot q (p) _ t, q in mathbb R ^ n $ es inyectivo, porque admite una inversa a la derecha dada por el mapa $ mathbb R ^ n ni dot q mapsto nabla _ dot q L (t, q, dot q) $ que, a su vez, es sobreyectiva. Sin embargo, el último mapa también es inyectivo, como se prueba fácilmente usando la condición de convexidad y el hecho de que el dominio $ mathbb R ^ n $ también es trivialmente convexo. El hecho de que la matriz $ dot q $ – hessiana de $ L $ no sea singular también implica que el mapa (2) es $ C ^ 1 $ con su inverso.
Resumiendo, el mapa (2) es un $ C ^ 1 $ diffeomorfismo de $ mathbb R ^ n $ a $ mathbb R ^ n $ y, de (1), tenemos la identidad popular que describe la interacción del hamiltoniano y funciones lagrangianas como:
$$ H (t, q, p) = p cdot dot q – L (t, q, dot q) qquad (3) $$
lo cual es cierto cuando $ p in mathbb R ^ n $ y $ dot q in mathbb R ^ n $ están relacionados por medio del difeomorfismo $ C ^ 1 $ de $ mathbb R ^ n $ en $ mathbb R ^ n $ (para $ (t, q) in Omega $ fijos): $$ p = nabla _ dot q L (t, q, dot q) :, quad forall dot q in mathbb R ^ n qquad (4) :. $$
Por construcción, $ H = H (t, q, p) $ es una función conjunta $ C ^ 1 $ definida en $ Gamma: = Omega times mathbb R ^ n $. Hago hincapié en que $ L $ está definido en el mismo dominio $ Gamma $ en $ mathbb R ^ 2n + 1 $. El conjunto abierto $ Gamma $ está equipado por el difeomorfismo: $$ psi: Gamma ni (t, q, dot q) mapsto (t, q, p) in Gamma qquad (4 ) ‘$$ donde (4) se mantiene.
Estudiemos la relación entre las diversas derivadas de $ H $ y $ L $.
Observo que no haré uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange o de Hamilton en ninguna parte de lo siguiente.
Considere una curva $ C ^ 1 $ $ gamma: (a, b) ni t mapsto (t, q (t), dot q (t)) in Gamma $, donde $ t $ tiene ningún significado particular y $ dot q (t) neq frac dq dt $ generalmente. El difeomorfismo $ psi $ transforma esa curva en una curva $ C ^ 1 $ similar $ t mapsto psi ( gamma (t)) = gamma ‘(t) $ También indicaré por $ gamma’: ( a, b) ni t mapsto (t, q (t), p (t)) in Gamma $.
Ahora podemos evaluar $ H $ sobre $ gamma ‘$ y $ L $ sobre $ gamma $ y calcular la derivada temporal total teniendo en cuenta (3) y (4), es decir, calculamos:
$$ frac d dt H (t, q (t), p (t)) = frac d dt left (p (t) dot q (t) – L (t, q (t), p (t)) derecha) :. $$
Los cálculos dan lugar casi de inmediato a la identidad, donde ambos lados se evalúan en la curva respectiva:
$$ frac parcial H parcial t + frac dq dt cdot nabla_q H + frac dp dt cdot nabla_p H = frac dp dt punto q + p frac d punto q dt – frac parcial L parcial t – frac dq dt cdot nabla_q L – frac d dot q dt cdot nabla _ dot q L :. $$ En el lado derecho, el segundo y el último término se cancelan entre sí en vista de (4), entonces que: $$ frac parcial H parcial t + frac dq dt cdot nabla_q H + frac dp dt cdot nabla_p H = frac dp dt dot q – frac parcial L parcial t – frac dq dt cdot nabla_q L :. $$ Reordenando los diversos términos en una estructura más útil: $$ izquierda ( frac parcial H parcial t | _ gamma ‘(t) + frac parcial L parcial t | _ gamma (t) derecha) + frac dq dt cdot left ( nabla_q H | _ gamma ‘(t) + nabla_q L | _ gamma (t) right) + frac dp dt cdot left ( nabla_p H | _ gamma ‘(t) – dot q | _ gamma (t) right) = 0 :. qquad (5) $$
Ahora observe que en realidad, dado que $ gamma $ es genérico, $ gamma (t) $ y $ gamma ‘(t) = psi ( gamma (t)) $ son puntos genéricos en $ Gamma $ (sin embargo conectados por la transformación (4)). Además, dado el punto $ (t, q, dot q) = gamma (t) in Gamma $, somos libres de elegir las derivadas $ frac dq dt $ y (usando el difeomorfismo) $ frac dp dt $ como queramos, arreglando $ gamma $ adecuadamente. Si fijamos a cero todas estas derivadas, (5) demuestra que, si $ (t, q, dot q) $ y $ (t, q, p) $ están relacionados mediante (4):
$$ izquierda ( frac parcial H parcial t | _ (t, q, p) + frac parcial L parcial t | _ (t, q, punto q) right) = 0 :. $$
Este resultado no depende de las derivadas $ dq / dt $ y $ dp / dt $ ya que no aparecen como argumentos de las funciones involucradas. Entonces, este resultado se mantiene en todas partes en $ Gamma $ porque $ (t, q, dot q) $ es un punto genérico en el mismo. Concluimos que (5) se puede reescribir como:
$$ frac dq dt cdot left ( nabla_q H | _ gamma ‘(t) + nabla_q L | _ gamma (t) right) + frac dp dt cdot left ( nabla_p H | _ gamma ‘(t) – dot q | _ gamma (t) right) = 0 :. qquad (5)’ $$
donde nuevamente, estamos considerando una curva genérica $ gamma $ como antes. Arreglar dicha curva de modo que todos los componentes de $ frac dq dt $ y $ frac dp dt $ desaparezcan excepto uno de ellos, por ejemplo $ frac dq ^ 1 dt $ , encontramos:
$$ izquierda ( frac parcial H parcial q ^ 1 | _ (t, q, p) + frac parcial L parcial q ^ 1 | _ (t , q, dot q) right) = 0 :, $$
si $ (t, q, dot q) $ y $ (t, q, p) $ están relacionados por medio de (4), y así sucesivamente.
Eventualmente terminamos con las siguientes identidades, válidas cuando $ (t, q, dot q) $ y $ (t, q, p) $ están relacionados por medio de (4)
$$ frac parcial H parcial t | _ (t, q, p) = – frac parcial L parcial t | _ (t, q, dot q) :, quad frac parcial H parcial q ^ k | _ (t, q, p) = – frac parcial L parcial q ^ k | _ (t, q, dot q) :, quad frac parcial H parcial p_k | _ (t, q, p) = dot q ^ k :. quad (6) $$ La última identidad es la que solicitó. Como puede ver, las identidades encontradas se basan únicamente en la transformación de Legendre y no consideran las ecuaciones de Euler-Lagrangian o las de Hamilton.
Sin embargo, explotando estas identidades, surge inmediatamente que $ gamma $ verifica las ecuaciones EL:
$$ frac d dt frac L parcial parcial punto q ^ k – frac L parcial parcial q ^ k = 0 :, quad frac dq ^ k dt = dot q ^ k quad k = 1, ldots, n $$
si y solo si la curva transformada $ gamma ‘(t): = psi ( gamma (t)) $ verifica las ecuaciones de Hamilton.
$$ frac d p_k dt = – frac parcial H parcial q ^ k :, quad frac dq ^ k dt = frac parcial H p_k parcial quad k = 1, ldots, n :. $$
De hecho, partiendo de una curva $ gamma (t) = (t, q (t), dot q (t)) $, la primera ecuación EL, explotando (4) (que es parte de la definición de $ psi $) y la segunda identidad en (6), se convierte en la primera ecuación de Hamilton para la curva transformada $ psi ( gamma (t)) $. Además, la segunda ecuación EL, haciendo uso de la última identidad en (6), se convierte en la segunda ecuación de Hamilton para la curva transformada. Este procedimiento es trivialmente reversible, por lo que, a partir de las ecuaciones de Hamilton, puede volver a las ecuaciones EL.
La primera identidad en (6) no se usa aquí. Sin embargo, implica que el sistema es o no invariante bajo las traducciones de tiempo simultáneamente en la formulación lagrangiana y hamiltoniana (en ambos casos, esa propiedad de invariancia implica la existencia de una constante de movimiento que no es más que $ H $ representada con las correspondientes variables lagrangianas o hamiltoniano).
Como comentario final, observe que (3) y la última identidad en (6) (que no es más que la función inversa de (2) en $ (t, q) $ fijos) implican $$ L (t, q, dot q) = nabla_p H (t, q, p) cdot p – H (t, q, p) :, $$ donde se supone que (2) conecta las variables lagrangianas y hamiltonianas.
En esta respuesta, nos gustaría mostrar a través de la regla de la cadena y solo la fuerza bruta cómo las ecuaciones de Hamilton. seguir de Lagrange eqs. y de la definición explícita (9) del hamiltoniano. Si bien existen enfoques más elegantes, este método es en cierto sentido el más natural y básico.
I) Formalismo lagrangiano. Supongamos que el $$ tag 1 lagrangiano L (q, v, t) $$ es una función uniforme de sus argumentos $ q ^ i $, $ v ^ i $ y $ t $. Suprimamos la dependencia de posición $ q ^ i $ y la dependencia de tiempo explícita $ t $ en lo siguiente. Definir para funciones de conveniencia posteriores
$$ etiqueta 2 g_i (v) ~: = ~ frac parcial L (v) parcial v ^ i, qquad i ~ in ~ 1, ldots, n ; $$
y
$$ etiqueta 3 h (v, p) ~: = ~ p_j v ^ j -L (v). $$
En eq. (3), las velocidades $ v ^ i $ y los momentos $ p_i $ son variables independientes.
II) Ecuaciones lagrangianas. de movimiento. Las ecuaciones de Lagrange. leer
$$ etiqueta 4 frac parcial L (v) parcial q ^ i ~ stackrel text EL eq. Approx ~ frac dg_i (v) dt ~ stackrel text Regla de cadena = ~ frac g_i parcial (v) t parcial + dot q ^ j frac g_i parcial (v) q parcial ^ j + dot v ^ j frac parcial g_i (v) parcial v ^ j, $$
donde hemos identificado
$$ tag 5 v ^ i ~ approx ~ dot q ^ i, qquad i ~ in ~ 1, ldots, n . $$
[The $approx$ symbol means equality modulo equations of motion.]
III) Variables duales de Legendre. Dentro del marco lagrangiano, los momentos se definen como
$$ tag 6 p_i ~ = ~ g_i (v), qquad i ~ in ~ 1, ldots, n . $$
Aquí solo discutiremos las transformaciones regulares de $ ^ 1 $ Legendre, es decir, asumiremos que es posible invertir las relaciones (6) como
$$ tag 7 v ^ i ~ = ~ f ^ i (p), qquad i ~ in ~ 1, ldots, n , $$
dónde
$$ tag 8 text Las funciones $ f $ y $ g $ son funciones inversas entre sí. $$
IV) Hamiltoniano. A continuación, defina el hamiltoniano como la transformada de Legendre $ ^ 2 $ del lagrangiano:
$$ tag 9 H (p) ~: = ~ h (f (p), p) ~ stackrel (3) = ~ p_j f ^ j (p) – (L circ f) (p). $$
V) Ecuaciones de Hamilton. de movimiento. Luego
$$ frac parcial H (p) parcial p_i ~ stackrel (9) = ~ f ^ i (p) + p_j frac parcial f ^ j (p) p_i parcial – frac parcial (L circ f) (p) p_i parcial $$ $$ ~ stackrel text Regla de la cadena = ~ f ^ i (p) + izquierda p_j – izquierda ( frac parcial L parcial v ^ j circ f derecha) (p) derecha frac parcial f ^ j (p) p_i parcial $$ $$ etiqueta 10 ~ stackrel (2) = ~ f ^ i (p) + left p_j – (g_j circ f) (p) right frac parcial f ^ j (p) parcial p_i ~ stackrel (8) = ~ f ^ i (p) ~ stackrel (7) = ~ v ^ i ~ stackrel (5) approx ~ dot q ^ i, $$
y
$$ – frac parcial H (p) parcial q ^ i ~ stackrel (9) = ~ frac parcial (L circ f) (p) parcial q ^ i – p_j frac parcial f ^ j (p) parcial q ^ i $$ $$ ~ stackrel text Regla de la cadena = ~ left ( frac L parcial parcial q ^ i circ f derecha) (p) + izquierda izquierda ( frac L parcial parcial v ^ j circ f derecha) (p ) -p_j right frac parcial f ^ j (p) parcial q ^ i $$ $$ ~ stackrel (2) = ~ left ( frac parcial L q parcial ^ i circ f derecha) (p) + izquierda (g_j circ f) (p) -p_j derecha frac parcial f ^ j (p) parcial q ^ i $$ $$ ~ stackrel (8) = ~ izquierda ( frac parcial L parcial q ^ i circ f derecha) (p) ~ stackrel (4) approx ~ left ( frac dg_i dt right) circ f (p) $$ $$ ~ stackrel (4) approx ~ izquierda ( frac g_i parcial t parcial derecha) circ f (p) + dot q ^ j izquierda ( frac g_i parcial parcial q ^ j circ f right) (p) + frac df ^ j (p) dt left ( frac parcial g_i parcial v ^ j circ f right) (p) $$ $ $ tag 11 ~ stackrel text Regla de cadena = ~ frac d (g_i circ f) (p) dt ~ stackrel (8) = ~ dot p _i. $$
La ecuación (10) y (11) son las ecuaciones de Hamilton.
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$ ^ 1 $ Una transformación de Legendre singular conduce a restricciones primarias.
$ ^ 2 $ La fórmula (9) es la definición de la transformada de Legendre que se suele dar en la literatura de física. En el ajuste suave, es un poco más general que la definición alternativa.
$$ etiqueta 12 H (p) ~ stackrel (3) : = ~ sup_v h (v, p). $$
para lagrangianos convexos, por ejemplo, en Wikipedia. Consulte también, por ejemplo, esta publicación relacionada con Phys.SE. El punto estacionario de $ h (v, p) $ wrt. $ v ^ i $ lee
$$ tag 13 frac parcial h (v, p) parcial v ^ i ~ = ~ 0 qquad stackrel (2) + (3) Leftrightarrow qquad p_i ~ = ~ g_i (v) qquad stackrel (8) Leftrightarrow qquad v ^ i ~ = ~ f ^ i (p). $$
Esto muestra que la definición (12) en el contexto pertinente conduce a la definición (9).
Alternativamente, existe un extendido aproximación a la transformación de Legendre entre el formalismo lagrangiano y hamiltoniano utilizando $ 3n $ variables $ (q ^ i, v ^ i, p_i) $, cf. p. ej. Ref. 1. Suprimamos la dependencia explícita del tiempo $ t $ de la notación a continuación. Considera el lagrangiano extendido$ ^ 1 $
$$ L_E (q, dot q, v, p) ~: = ~ p_i ( dot q ^ iv ^ i) + L (q, v) ~ stackrel (2) = ~ p_i dot q ^ i-H_E (q, v, p), etiqueta 1 $$
donde el Hamiltoniano extendido Se define como
$$ H_E (q, v, p) ~: = ~ p_i v ^ iL (q, v). Etiqueta 2 $$
los Hamiltoniano se define como la transformación de Legendre
$$ H (q, p) ~: = ~ sup_v H_E (q, v, p) etiqueta 3 $$
del Lagrangiano.
Aquí es importante que las posiciones $ q ^ i $, velocidades $ v ^ i $y momentos $ p_i $ se tratan como variables independientes en el correspondiente principio de acción estacionaria extendida.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL). para el lagrangiano extendido (1) leer
$$ begin align dot p _i ~ approx ~ & frac parcial L (q, v) parcial q ^ i ~ = ~ – frac parcial H_E (q, v, p) q parcial ^ i, etiqueta 4q cr 0 ~ approx ~ & p_i- frac L parcial (q, v) parcial v ^ i ~ = ~ frac H_E parcial (q, v, p) parcial v ^ i, etiqueta 4v cr dot q ^ i ~ approx ~ & v ^ i ~ = ~ frac H_E parcial (q, v, p) p_i parcial. etiqueta 4p end align $$
-
Por un lado, integrando el $ v ^ i $ variables [i.e. using the eq. (4v)], el lagrangiano extendido (1) se convierte en el llamado Hamiltoniano lagrangiano$$ L_H (q, dot q, p) ~: = ~ p_i dot q ^ iH (q, p). tag 5 $$
Las ecuaciones de EL. para el hamiltoniano lagrangiano (5) son las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Así recuperamos el formalismo hamiltoniano. -
Por otro lado, al integrar el $ p_i $ variables [i.e. using the eq. (4p)], obtenemos $ v ^ i approx dot q ^ i $. Eliminando el $ v ^ i $ variables también, el Lagrangiano extendido se convierte en el Lagrangiano habitual
$$ L (q, dot q), tag 6 $$
lo que conduce a las habituales ecuaciones de Lagrange. de movimiento. Así recuperamos el formalismo lagrangiano.
Dado que los enfoques hamiltoniano y lagrangiano (5) y (6) pertenecen al mismo formalismo extendido (1), los dos enfoques son equivalentes. También tenga en cuenta que las complicaciones con dependencias implícitas en el tratamiento estándar de la transformación de Legendre se simplifican considerablemente en el formalismo extendido (1).
Referencias:
- DM Gitman y IV Tyutin, Cuantización de campos con restricciones, (1990), Sección 2.1.
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$ ^ 1 $ Como es habitual, para que el principio variacional extendido esté bien definido, las condiciones de frontera (BC) deben garantizar que el término de frontera $ left[p_idelta q^i right]^ t = t_f _ t = t_i $ desaparece bajo variaciones infinitesimales $ delta q ^ i $.
Recuerda que te damos el privilegio explicar tu experiencia si tropezaste tu impasse .