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Solución:
Los vértices de cualquier rectángulo inscrito en una elipse vienen dados por $$(pm a cos(theta), pm b sin(theta))$$ El área del rectángulo viene dada por $$A( theta) = 4ab cos(theta) sin(theta) = 2ab sin(2 theta)$$ Por lo tanto, el máximo es cuando $sin(2 theta) = 1$. Por lo tanto, el área máxima es cuando $2theta = dfracpi2$, es decir, $theta = dfracpi4$. El área máxima es $$A = 2ab$$
Suponga que la esquina superior derecha del rectángulo está en el punto $langle x,yrangle$. Entonces sabes que el área del rectángulo es, como dices, $4xy$, y sabes que $$fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1;.etiqueta1$$
Pensando en el área como una función de $x$, tenemos $$fracdAdx=4xfracdydx+4y;.$$ Derivando $(1)$ con respecto a $x$, tenemos
$$frac2xa^2+frac2yb^2fracdydx=0;,$$ entonces $$fracdydx= -fracb^2xa^2y;,$$ y $$fracdAdx=4y-frac4b^2x^2a^2y;.$ ps
Poniendo esto a $0$ y simplificando, tenemos $y^2=dfracb^2x^2a^2$. De $(1)$ sabemos que $$y^2=b^2-fracb^2x^2a^2;.$$ Por lo tanto, $y^2=b^2-y ^2$, $2y^2=b^2$ y $dfracy^2b^2=dfrac12$. Claramente, entonces, $dfracx^2a^2=dfrac12$ también, y el área se maximiza cuando
$$x=fracasqrt2=fracasqrt22quadtextyquad y=fracbsqrt2=fracbsqrt2 2;.$$
$$1=frac x ^ 2 a ^ 2 + frac y ^ 2 b ^ 2 ge fracción2 xy ab $$
cuando y solo cuando $$ x / a = y / b ,$$ se obtiene el máximo
es decir: máximo de $xy =ab/2$, entonces $4xy=2ab$.
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