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Primero, notamos que hay $ 2 ^ n $ polinomios en $ mathbb Z _2[x]$ de grado $ n $.
Un polinomio $ p (x) $ de grado $ 2 $ o $ 3 $ es irreducible si y solo si no tiene factores lineales. Por tanto, basta con mostrar que $ p (0) = p (1) = 1 $. Esto nos dice rápidamente que $ x ^ 2 + x + 1 $ es el único polinomio irreducible de grado $ 2 $. Esto también nos dice que $ x ^ 3 + x ^ 2 + 1 $ y $ x ^ 3 + x + 1 $ son los únicos polinomios irreducibles de grado $ 3 $.
Como señala Hardmath, para que un polinomio $ p (x) $ de grado $ 4 $ o $ 5 $ sea irreducible, basta con mostrar que $ p (x) $ no tiene factores lineales o cuadráticos. Para descartar los factores lineales, nuevamente podemos descartar cualquier polinomio no satisfaciendo $ p (0) = p (1) = 1 $. Es decir, podemos descartar cualquier polinomio con término constante $ 0 $, y podemos descartar cualquier polinomio con un número par de términos. Esto descarta $ 3/4 $ de los polinomios. Por ejemplo, los polinomios de $ 4 ^ th $ grados que no tienen factores lineales son:
- $ x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $
- $ x ^ 4 + x ^ 3 + 1 $
- $ x ^ 4 + x ^ 2 + 1 $
- $ x ^ 4 + x + 1 $
Los polinomios de $ 5 ^ th $ grados que no contienen factores lineales son:
- $ x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 2 + x + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 4 + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 3 + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 2 + 1 $
- $ x ^ 5 + x + 1 $
Aún queda por verificar si $ x ^ 2 + x + 1 $ (que es el único polinomio cuadrático irreducible en $ mathbb Z _2[x]$) divide cualquiera de estos polinomios. Esto se puede hacer a mano en grados suficientemente pequeños. Nuevamente, como señala hardmath, dado que $ x ^ 2 + x + 1 $ es el único polinomio irreducible de grado $ 2 $, se deduce que $ (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = x ^ 4 + x ^ 2 + 1 $ es el único polinomio de grado $ 4 $ que no tiene factores lineales y, sin embargo, no es irreducible. Por lo tanto, los otros polinomios de $ 3 $ enumerados deben ser irreductibles. De manera similar, para polinomios de grado $ 5 $, podemos descartar
$$ (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 3 + x ^ 2 + 1) = x ^ 5 + x + 1 $$
y
$$ (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 3 + x + 1) = x ^ 5 + x ^ 4 + 1. $$
Por lo tanto, los otros polinomios listados $ 6 $ deben ser irreductibles.
Observe que este truco de descartar polinomios con factores lineales, luego factores cuadráticos, etc. (que el matemático se llama similar al Tamiz de Eratóstenes) no es eficiente para polinomios de gran grado (incluso el grado $ 6 $ comienza a ser un problema, ya que un polinomio de grado $ 6 $ se puede factorizar como un producto de polinomios de grado $ 3 $). Este método, por lo tanto, solo funciona para polinomios de grado suficientemente pequeño.
En resumen, los polinomios irreducibles en $ mathbb Z _2[x]$ de grado $ leq 5 $ son:
- $ x $
- $ x + 1 $
- $ x ^ 2 + x + 1 $
- $ x ^ 3 + x ^ 2 + 1 $
- $ x ^ 3 + x + 1 $
- $ x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $
- $ x ^ 4 + x ^ 3 + 1 $
- $ x ^ 4 + x + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 2 + x + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 3 + 1 $
- $ x ^ 5 + x ^ 2 + 1 $
La forma complicada de hacer esto es darse cuenta de que si $ p (x) $ es un polinomio primo de grado $ n $, entonces $ mathbb Z _2[z] / p (z) $ es un campo de orden $ 2 ^ n $ y, por lo tanto, para cada elemento $ a $ del campo, $ a ^ 2 ^ n -a = 0 $. En particular, entonces, $ z ^ 2 ^ n -z $ debe ser divisible por $ p (z) $. Ahora, $ z ^ 2 ^ n -z $ también es divisible por cualquier polinomio primo de grado $ d | n $, así que primero tenemos que factorizarlos, y luego obtienes el producto de los primos de grado $ n PS
En particular, $ x ^ 8-x $ debe ser un producto de los números primos del grado uno y los números primos del grado $ 3 $. Podemos factorizar fácilmente $ x (x + 1), $ y vemos que los números primos de grado $ 3 $ deben multiplicarse para obtener $ x ^ 6 + x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $. Por lo tanto, puede probar la primacía de un polinomio de grado $ 3 $ al ver si se divide en este polinomio.
De manera similar, para $ n = 4 $, tiene $ x ^ 16 -x $ debe ser el producto de los números primos de los grados $ 1,2 $ y $ 4 $. El único primo de grado $ 2 $ es $ x ^ 2 + x + 1, $ entonces el producto de los primos de grado $ 4 $ debe ser $ dfrac x ^ 16 -x (x ^ 2 + x + 1) x (x + 1) = 1 + x ^ 3 + x ^ 6 + x ^ 9 + x ^ 12 :. $ Entonces sabemos que hay $ 3 $ primos de orden $ 4 $.
Finalmente, los productos de los números primos de grado $ 5 $ deben ser $ dfrac x ^ 32 -x x (x + 1) = 1 + x + x ^ 2 + : cdots : + x ^ 30 $.
Tenga en cuenta que los números primos de grado $ 3 $ tienen que ser $ x ^ 3 + x + 1 $ y $ x ^ 3 + x ^ 2 + 1 $. Eso es porque si $ p (x) $ es primo, entonces $ p (1) = 1 $ y $ p (0) = 1 $. Entonces tenemos que tener $ x ^ 3 $ y $ 1 $ como términos f $ p (x) $, y tenemos que tener un número impar de términos distintos de cero en $ p (x) $.
Como señala DJC, gran parte del trabajo de pala es darse cuenta de qué polinomios tienen factores lineales o, de manera equivalente, cuáles tienen raíces en 0 o 1. Esto es suficiente para verificar polinomios cuadráticos y cúbicos (mod 2).
¡La única otra cosa a descartar (al encontrar polinomios irreducibles de grado 5 o menos) es un factor cuadrático! Entonces, por analogía con el Tamiz de Eratóstenes, usemos la evaluación en 0 y 1 (término constante no 0 y número de coeficientes distintos de cero impar) para enumerar rápidamente todos los polinomios irreducibles (mod 2) de grado 2:
$ x ^ 2 + x + 1 $
Entonces, un polinomio (mod 2) de grado 4 o 5 es irreducible si y solo si además de no tener una raíz en x = 0 ox = 1, el polinomio no tiene el cuadrático irreducible anterior como factor. Para el grado 4, solo es posible tener el factor cuadrático pero no lineal si el polinomio es el cuadrado irreducible cuadrático, así que ese es solo un caso para verificar.
$ (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = x ^ 4 + x ^ 2 + 1 $
[reducible]
Para el grado 5 la prueba análoga sería descartar los tiempos cuadráticos irreductibles de uno de los (dos) polinomios cúbicos irreducibles.
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