Solución:
Esta es una expansión del comentario de Arturo.
La matriz tiene valores propios $ 50,25 $ y vectores propios $ (4,3), (- 3,4) $, por lo que se descompone automáticamente en $$ A = begin {pmatrix} 4 & -3 \ 3 & 4 end {pmatrix} begin {pmatrix} 50 & 0 \ 0 & 25 end {pmatrix} begin {pmatrix} 4 & -3 \ 3 & 4 end {pmatrix} ^ {- 1}. $$
Tiene la forma $ A = Q Lambda Q ^ {- 1} $. Si es $ B ^ 2 $, entonces habrá un $ B $ de la forma $ Q Lambda ^ {1/2} Q ^ {- 1} $ (cuadre esto para verificar que esto sea formalmente cierto). Una raíz cuadrada de una matriz diagonal son solo las raíces cuadradas de las entradas diagonales, por lo que tenemos
$$ B = begin {pmatrix} 4 & -3 \ 3 & 4 end {pmatrix} begin {pmatrix} sqrt {50} & 0 \ 0 & sqrt {25} end {pmatrix} begin {pmatrix} 4 & -3 \ 3 & 4 end {pmatrix} ^ {- 1} $$
$$ = frac {1} {5} begin {pmatrix} 9 + 16 sqrt {2} y -12 + 12 sqrt {2} \ -12 + 12 sqrt {2} y 16 + 9 sqrt {2} end {pmatrix}. $$
Aquí usamos $ sqrt {50} = 5 sqrt {2}, sqrt {25} = 5 $, y una fórmula rápida para la inversa de una matriz de $ 2 times 2 $:
$$ begin {pmatrix} a & b \ c & d end {pmatrix} ^ {- 1} = frac {1} {ad-bc} begin {pmatrix} d & -b \ – c & a end {pmatrix}. $$
Tenga en cuenta que las raíces cuadradas de la matriz no son únicas (incluso hasta el signo), pero se garantiza que este método en particular producirá un ejemplo de una raíz cuadrada de la matriz real siempre que $ A $ tenga todos los valores propios positivos.
Encontrar un $ U $ triangular superior tal que $ A = U ^ TU $ es aún más sencillo:
$$ A = begin {pmatrix} a & 0 \ b & c end {pmatrix} cdot begin {pmatrix} a & b \ 0 & c end {pmatrix} $$
Esto es $ a ^ 2 = 41 $ por tanto $ a = sqrt {41} $, $ ab = 12 $ por tanto $ b = frac {12} {41} sqrt {41} $, y $ b ^ 2 + c ^ 2 = 34 $ por lo tanto $ c = 25 sqrt { frac {2} {41}} $.
En otras palabras,
$$ U = sqrt {41} begin {pmatrix} 1 & frac {12} {41} \ 0 & frac {25} {41} sqrt {2} end {pmatrix}. $$
Para la primera parte de su pregunta, aquí hay una solución que solo funciona para matrices de 2 por 2, pero tiene el mérito de que no se necesita valor propio.
Recuerde que en el caso bidimensional, existe una ecuación mágica que es útil en muchas situaciones. Es $ X ^ 2 – ({ rm tr} X) X + ( det X) I = 0 $, que surge del polinomio característico de una matriz $ 2 times2 $ $ X $. Ahora, si $ X ^ 2 = A $, tenemos $ det X = pm sqrt { det A} = r $ (digamos). Tomamos el valor positivo de $ r $. Por tanto, $$ ( ast): quad ({ rm tr} X) X = X ^ 2 + rI = A + rI $$ y $ ({ rm tr} X) ^ 2 = { rm tr} izquierda (({ rm tr} X) X right) = { rm tr} (A + rI) = { rm tr} A + 2r $. Así, de $ ( ast) $ obtenemos $$ X = frac {1} { sqrt {{ rm tr} A + 2r}} (A + rI) quad { rm donde} quad r = sqrt { det A}. $$ Este método funciona para todas las matrices 2 por 2 $ A $ cuando $ det A ge0 $ y $ { rm tr} A + 2 sqrt { det A}> 0 $. En particular, funciona para $ A $ positivos definidos.
Para la segunda parte de su pregunta, como han señalado los demás, la descomposición que solicita es una descomposición de Cholesky.
Sea $ lambda $ y $ mu $ los valores propios de su matriz real $ 2 $ por $ 2 $ $ A $. (Podemos tener $ lambda = mu $.) Suponga que $ lambda $ y $ mu $ son positivos.
Si $ lambda not = mu $, escribe la ecuación del Linea secante a la curva $ y = sqrt x $ a través de los puntos $ ( lambda, sqrt lambda) $ y $ ( mu, sqrt mu) $: $$ y = sqrt lambda frac { x- mu} { lambda- mu} + sqrt mu frac {x- lambda} { mu- lambda} quad. $$ La matriz que desea es $$ sqrt lambda frac {A- mu I} { lambda- mu} + sqrt mu frac {A- lambda I} { mu- lambda} quad, $$ donde $ I $ es la matriz de identidad.
Si $ lambda = mu $, escribe la ecuación del linea tangente a la curva $ y = sqrt x $ a través del punto $ ( lambda, sqrt lambda) $: $$ y = sqrt lambda + frac {x- lambda} {2 sqrt lambda} quad . $$ La matriz que desea es $$ sqrt lambda I + frac {A- lambda I} {2 sqrt lambda} quad. $$
¿Ves por qué?
¿Ves cómo generalizar esto a matrices de $ n $ por $ n $?
EDITAR 4. Esto es solo para explicar por qué esta cosa secante / tangente entra en escena. Suponga para simplificar que los valores propios $ lambda $ y $ mu $ de su matriz real de dos por dos $ A $ son reales y distintos. Sea $ f in mathbb R[X]$ ser un polinomio y $ s $ el polinomio único de grado $ le1 $ que concuerda con $ f $ en $ lambda $ y $ mu $. [Graphically, this is a secant line.] Entonces, el polinomio característico $$ chi = (X- lambda) (X- mu) $$ dividirá $ fs $. Como $ chi (A) = 0 $ según el teorema de Cayley-Hamilton, tenemos $ f (A) = s (A) $. Pero la expresión $ s (A) $ tiene sentido siempre que $ f $ sea una función (de valor real) definida en $ lambda $ y $ mu $. Además, el mapa $ f mapsto f (A) $ es compatible con la suma y la multiplicación.
EDITAR 1. Como lo notaron @Did y @ user1551, hay una fórmula linda para la “línea secante generalizada” a la curva $ y = sqrt x $, con lo que quiero decir: la línea secante si los puntos son distintos, la línea tangente si coinciden. Suponiendo que $ lambda not = mu $, la ecuación de la recta secante es $$ y = frac { sqrt lambda- sqrt mu} { lambda- mu} x + frac { mu sqrt lambda- lambda sqrt mu} { lambda- mu} = frac {x + sqrt { lambda mu}} { sqrt lambda + sqrt mu} quad, $$ y El milagro es que la última expresión tiene sentido incluso si $ lambda = mu $.
EDITAR 2. Tenga en cuenta que hay otras soluciones cuando $ lambda not = mu $. Poniendo $$ E: = frac {A- lambda I} { mu- lambda} quad, quad F: = frac {A- mu I} { lambda- mu} quad, $ $ obtenemos $$ E ^ 2 = E, F ^ 2 = F, EF = FE = 0, I = E + F, A = mu E + lambda F, $$ y por lo tanto $$ ( pm sqrt mu E pm sqrt lambda F) ^ 2 = A $$ para las cuatro opciones de signos. [The plus plus choice corresponds to the previous formula.]
EDITAR 3. He aquí una generalización.
Sea $ T $ una matriz compleja de $ n $ por $ n $, y $$ p (X) = (X- lambda_1) ^ {m (1)} cdots (X- lambda_k) ^ {m (k )} $$ su polinomio mínimo (el $ lambda_i $ es distinto y el $ m (i) $ positivo). Sea $ A $ el álgebra de aquellas funciones $ f (z) $ que son holomórficas en un vecindario del espectro $ { lambda_1, dots, lambda_k } $ de $ T $.
Hay un $ mathbb C único[X]$ -morfismo de álgebra de $ A $ a $ mathbb C[T]= mathbb C[X]/ (p (X)) $. Denote este morfismo por $ f (z) mapsto f (T) $. Si $ f (z) $ está en $ A $, entonces el representante único de $ f (T) $ en $ mathbb C[X]$ de grado menor que $ deg p (X) $ es $$ sum_ {i = 1} ^ k underset {X = lambda_i} heartsuit left ( Big ( underset {z = lambda_i} traje de corazón f (z) Grande) frac {(X- lambda_i) ^ {m (i)}} {p (X)} right) frac {p (X)} { (X- lambda_i) ^ {m (i)}} $$
con $$ underset {u = lambda_i} heartsuit varphi (u): = sum_ {j = 0} ^ {m (i) -1} frac { varphi ^ {(j)} ( lambda_i )} {j!} (X- lambda_i) ^ j. $$
Además, el espacio propio generalizado $ lambda_i $ de $ T $ está contenido en el espacio propio generalizado $ f ( lambda_i) $ de $ f (T) $.
Todo esto se sigue del teorema chino del residuo, que dice $$ frac { mathbb C[X]} {(p (X))} = prod_ {i = 1} ^ k frac { mathbb C[X]} {(X- lambda_i) ^ {m (i)}} quad, $$ y de la fórmula de Taylor.
[There is an Edit 4 above.]