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Solución:
Tienes $A^TA = I$. Por lo tanto, $A$ es una rotación. Como $det A = 1$, es correcto.
Por inspección, $A beginbmatrix 1 \ 2 \ 2endbmatrix = beginbmatrix 1 \ 2 \2endbmatrix$, lo que da el eje de rotación.
La inspección también muestra que $beginbmatrix 2 \ -1 \ 0 endbmatrix$ y $beginbmatrix 2 \ 4 \ -5 endbmatrix$ son vectores propios ortogonales correspondientes a el valor propio (repetido) $-1$. Por lo tanto, vemos que el ángulo de rotación es $pi$.
Explícitamente, si hacemos $R = beginbmatrix 1 & 2 & 2 \ 2 & -1 & 4 \ 2 & 0 & -5 endbmatrix$, entonces $R^-1 = frac1405 beginbmatrix 45 & 90 & 90 \ 162 & -81 & 0 \ 18 & 36 & -45endbmatrix$, y $R^-1 AR = beginbmatrix 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 endbmatrix$, de donde vemos que el ángulo de rotación es $pi$.
La forma más sencilla de encontrar el ángulo de rotación es tomar la traza de la matriz, la suma de los elementos de la diagonal. Por la respuesta de Cameron Buie esto es igual $1 + 2cos(theta)$ donde $theta$ es el ángulo de rotación. $theta$ entonces se puede determinar hasta el signo que dependerá de la orientación del eje de rotación elegido.
Para matrices no simétricas, el eje de rotación se puede obtener de la parte simétrica oblicua de la matriz de rotación, $S = .5(RR^mathrmT)$;
Entonces sí $S=(a_ij)$el eje de rotación con magnitud $sintheta$ es $(a_21,a_02,a_10)$.
Si una transformación lineal $T:Bbb R^3toBbb R^3$ es una rotación no trivial, entonces el conjunto $xinBbb R^3:T(x)=x $ será el eje de rotación, ya que la rotación no trivial sobre un eje mueve todos los puntos excepto los puntos en el eje. Además, si el determinante de $T$ no es $1,$ entonces no es una rotación (¿por qué?), aunque ya has visto que $det(A)=1$ en este caso.
Aquí, estamos trabajando con la transformación $T(x)=Ax$, por lo que el conjunto $xinBbb R^3:T(x)=x$ es solo el espacio propio de $A$ correspondiente al valor propio $1$. Si $A$ no tener $1$ como valor propio, sabríamos que no fue una rotación en absoluto (en este caso, tiene $1$ como valor propio). Si la dimensión del espacio propio fuera mayor que $1$, entonces sería una matriz de reflexión (si la dimensión $2$) o la matriz identidad (si la dimensión $3$). Este último claramente no es el caso, por lo que es una matriz de rotación o una matriz de reflexión. Sin embargo, si fuera una matriz de reflexión, su determinante sería $-1,$ (¿por qué?), por lo que es una matriz de rotación.
Nota al margen: Dados dos vectores distintos de cero $x,y$ en $Bbb R^3$ con el ángulo de $x$ a $y$ siendo $theta$, tenemos las siguientes fórmulas (donde $cdot$ es el producto escalar y $times$ es el producto cruz): $$xcdot y=lVert xrVertlVert yrVertcosthetatag1$$ $$lVert xtimes y rVert=lVert xrVertlVert yrVertsinthetatag2$$
Para ver de dónde provienen $(1)$ y $(2)$, consulte aquí y aquí.
En general, supongamos que nos han dado una matriz $A$ correspondiente a una rotación en $Bbb R^3$, y que queremos encontrar su ángulo de rotación. Primero, encuentre una base $w$ para el eje de rotación (que se encuentra arriba), sea $x$ cualquier vector unitario distinto de cero ortogonal (perpendicular) a $w$, sea $y=Ax$. Entonces tanto $x$ como $y=Ax$ serán vectores unitarios. (¿Ves por qué $y$ es un vector unitario?), por lo que las fórmulas $(1)$ y $(2)$ producen las siguientes fórmulas alternativas para nuestro $x,y$ particular: $$xcdot y= costhetatag$1’$$$ $$lVert xtimes yrVert=sinthetatag$2’$$$ Aquí, $theta$ es el ángulo de rotación de $ $. (¿Ves por qué?) A partir de ahí, podemos determinar $theta$. (¿Ves cómo?)
Alternativamente, comience con $w$ (como arriba), normalícelo a $hat w$ y luego determine una base ortonormal $B=\hat w,v_2,v_3$ para $Bbb R^3$ con el proceso de Gram-Schmidt. Entonces $$(hat w: v_2: v_3)^TA(hat w: v_2: v_3)=left(begin{arrayccc1 & 0 & 0\0 & costheta & -sintheta\0 & sintheta & costhetaendarrayright),$$ lo que nos da otra forma de encontrar $theta$.
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