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Encuentra $B=A^2+A$ sabiendo que $A^3=begin{bmatrix}4&3\-3&-2end{bmatrix}$

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Solución:

La matriz $C=A^3$ satisface su ecuación característica, es decir: $det(A^3-xI)=0$, que es $(4-x)(-2-x)+9=0$. Consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem.

Esto da $C^2-2C+I=0$, por lo que $C$ tiene el valor propio 1. Los valores propios de $A^3$ son los cubos de los valores propios de $A$. Si los valores propios de $A$ son las dos raíces cúbicas complejas de la unidad, entonces obtendríamos $A^2+A=-I$, pero entonces $A^3-I$ es distinto de cero, por lo que los valores propios de $A$ también son ambos 1, lo que significa que $A$ satisface $A^2=2A-I$.

Esto da $A^3=2A^2+A=2(2A-I)+A=3A-2I$. Por lo tanto, $A^2+A=3A-I=A^3+I$.

Observación: La conclusión de que los valores propios de $A$ deben ser ambos 1 es incorrecta, ya que podrían ser cualquiera de las otras dos raíces cúbicas de la unidad, que ocurren dos veces. Esto se muestra en las otras respuestas.

Aunque prefiero un enfoque algebraico, aquí hay una forma "no algebraica" de determinar directamente $A$. Dejar

  • $C =A^3 Rightarrow C^2=beginbmatrix7& 6\-6&-5endbmatrix$

Mirando el patrón de las entradas comparando $A^6$ con $A^3$ encontramos:

  • las entradas en la primera fila suben $3$
  • las entradas en la segunda fila bajan $3$

Entonces, aplicando este patrón "hacia atrás" a $A^3$ obtenemos un posible candidato para $A$: $$A = beginbmatrix2& 1\-1&0endbmatrix$$ De hecho, obtenemos $$A^3 = beginbmatrix4&3\-3&-2endbmatrix Rightarrow A^2+A = beginbmatrix5&3\-3&-1endbmatrix$$

Presumiblemente $A$ es real. Observe que $A^3-I$ es distinto de cero pero nilpotente (porque $(A^3-I)^2=0$). Por lo tanto $A^3$ ya su vez $A$ no son diagonalizables. Por lo tanto, $A$ tiene valores propios repetidos. Entonces, si $A$ es real, sus valores propios deben ser reales (o de lo contrario, la traza de $A$ se volvería no real) e igual a $1$ (porque $A^3-I$ es nilpotente). Por lo tanto, la forma de Jordan de $A$ es $pmatrix1&1\0&1$. Como $$ pmatrix1&1\0&1^2+pmatrix1&1\0&1=pmatrix2&3\0&2 =pmatrix1&1\0&1^3+I, $$ concluimos que $A^2+A=A^3+I$.

Observación. Tenga en cuenta que la conclusión anterior no se cumple cuando $A$ puede no ser real. (Por lo tanto, las otras respuestas aquí son incorrectas o están incompletas). Por ejemplo, suponga que $w=exp(2pi i/3)$ y $$ A=pmatrix2w&w\ -w&0. $$ Entonces $A^3$ es de hecho igual a $pmatrix4&3\ -3&-2$ pero $(A^2+A)-(A^3+I)$ no es real.

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